Mục lục
Quy tắc đếm đóng vai trò vô cùng quan trọng trong Đại số tổ hợp lớp 11, cũng như được học nâng cao và áp dụng lên cả bậc Đại học. Chính vì vậy, các bạn học sinh cần nắm vững được kiến thức phần này để có thể hoàn thành tốt môn học và áp dụng được vào thực tế.
Giải tích toán 11
Lý thuyết về quy tắc đếm toán 11
1 – Quy tắc cộng
Có k phương án B1,B2,B3,…,Bk để thực hiện được công việc. Trong đó:
- Ta có n1 cách để thực hiện phương án B1,
- Ta có n2 cách để thực hiện phương án B2,
- Ta có n3 cách để thực hiện phương án B3,
- ………….
- Ta có nk cách thực hiện phương án Bk.
Khi đó, ta có số cách để thực hiện được công việc là: n1+n2+n3+…+nk cách.
Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng được cho nhiều hành động.
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì ta có số phần tử của A∪B bằng tổng số phần tử của A và của B, tức là: |A∪B|=|A|+|B| (1)
Công thức (1) có thể mở rộng theo hai hướng như sau:
a) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì: n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B) (2)
b) Nếu A1,A2,A3,…,Am là các các tập hợp hữu hạn tùy ý và đôi một không giao nhau thì: n(A1∪A2∪A3∪…∪Am) = n(A1)+n(A2)+n(A3)+…+n(Am)
2 – Quy tắc nhân
Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn. Được kí hiệu là A X B là một tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b) có a∈A,b∈B. Suy ra ta có được quy tắc: n(A×B)=n(A).n(B) (3)
Quy tắc trên được phát biểu như sau:
Có k công đoạn A1,A2, A3,…,Ak để thực hiện được công việc. Trong đó
- Ta có được n1 cách để thực hiện công đoạn A1.
- Ta có được n2 cách để thực hiện công đoạn A2.
- Ta có được n3 cách để thực hiện công đoạn A3
- …………
- Ta có nk cách để thực hiện công đoạn Ak.
Khi đó, ta có số cách để thực hiện công việc chính là: n1.n2…..nk cách.
Chú ý: Quy tắc nhân có thể được mở rộng ra cho nhiều hành động.
Khi vận dụng quy tắc nhân, nếu không có hành động nào đặc biệt thì ta sẽ thực hiện các hành động nào trước hay sau cũng được.
Khi vận dụng quy tắc nhân, nếu có nhiều hành động đặc biệt thì ta sẽ thực hiện các hành động này trước tiên.
Bài tập áp dụng quy tắc đếm lớp 11
1 – Bài 1 trang 46 sgk Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 ta có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm
a. Một chữ số
b. Hai chữ số
c. Hai chữ số khác nhau
Hướng dẫn giải:
a) Đặt B= {1,2,3,4}. Ta gọi số có 1 chữ số là a. a có 4 cách chọn. Suy ra có 4 cách chọn số có một chữ số.
b) Số tự nhiên cần lập có dạng ab, với a, b ∈ {1, 2, 3, 4} có kể đến thứ tự.
Để lập được số tự nhiên có hai chữ số này, ta phải thực hiện được liên tiếp hai hành động sau đây:
Hành động 1: Ta chọn chữ số a ở hàng chục. Có 4 cách để chọn chữ số a này
Hành động 2: Ta chọn chữ số b ở hàng đơn vị. Có 4 cách để chọn chữ số b này.
Theo quy tắc nhân => số các cách để lập được số tự nhiên kể trên là 4 . 4 = 16 (cách).
Từ đó ta suy ra từ các chữ số đã cho có thể lập được 16 số tự nhiên có hai chữ số.
c) Số tự nhiên cần lập có dạng ab , với a, b ∈ {1, 2, 3, 4} và a, b là phải khác nhau, có kể đến thứ tự.
Để có thể lập được số tự nhiên này, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:
Hành động 1: Ta chọn chữ số a ở hàng chục.
Có được 4 cách để lựa chọn chữ số a này.
Hành động 2: Ta chọn chữ số b ở hàng đơn vị, với điều kiện b phải khác chữ số a đã chọn.
ta có 3 cách để chọn chữ số b này.
Theo quy tắc nhân => từ các cách để có thể lập được số tự nhiên kể trên là: 4 . 3 = 12 (cách).
Từ đó suy ra từ các chữ số đã được cho có thể lập được 12 số tự nhiên có hai chữ số khác nhau.
2 – Bài 2 trang 46 sgk Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ?
Hướng dẫn giải:
Mỗi số tự nhiên cần lập được là số tự nhiên không quá được 2 chữ số, được lập từ các chữ số đề cho 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Để lập được số tự nhiên như vậy, ta phải thực hiện được một hành động trong hai hành động loại trừ nhau dưới đây:
Hành động 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta lập số tự nhiên có một chữ số.
Ta có 6 cách để thực hiện hành động này.
Hành động 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta lập số tự nhiên có hai chữ số.
Vận dụng quy tắc nhân, ta sẽ tìm được: Có 62 = 36 cách để lập số tự nhiên có hai chữ số.
Theo quy tắc cộng suy ra số các cách để lập được các số tự nhiên kể trên là
6 + 36 = 42 (cách)
Từ đó ta suy ra từ các chữ số đã cho có thể lập được 42 số tự nhiên bé hơn 100.
3 – Bài 3 trang 46 sgk
Các thành phố A, B, C, D đã được nối với nhau bởi các con đường như hình 26. Hỏi:
a) Có thể có bao nhiêu cách để đi từ A đến D mà chỉ qua B và C chỉ một lần ?
b) Có thể có bao nhiêu cách để đi từ A đến D rồi sẽ quay lại A ?
Hướng dẫn giải:
a) Để đi được từ A đến D mà sẽ qua B và C chỉ một lần, ta phải thực hiện liên tiếp ba hành động sau đây:
Hành động 1: Đi từ A đến B. Ta có 4 cách để có thể thực hiện hành động này.
Hành động 2: Đi từ B đến C. Ta có 2 cách để có thể thực hiện hành động này.
Hành động 3: Đi từ C đến D.Ta có 3 cách để có thể thực hiện hành động này.
Theo quy tắc nhân ta suy ra số các cách để đi được từ A đến D mà chỉ qua B và C chỉ một lần là 4 . 2 . 3 = 24 (cách).
b) Ta có số các cách để đi được từ A đến D nhưng mà qua B và C chỉ một lần, rồi sẽ quay lại A mà qua C và B cũng chỉ một lần là:
(4 . 2 . 3) . (3 . 2 . 4) = 242 = 576 (cách).
4 – Bài 4 trang 46 sgk Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da,, vải và nhựa). Hỏi ta có bao nhiêu cách để chọn một chiếc đồng hồ bao gồm một mặt và một dây ?
Hướng dẫn giải:
Ta có được 3 kiểu mặt đồng hồ nên có 3 cách chọn
Ta có 4 kiểu dây nên suy ra sẽ có 4 cách chọn.
Vậy ta có số cách để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là 3.4 =12 (cách)
Trên đây là một số hướng dẫn cung cấp cho các bạn học sinh những lý thuyết cơ bản nhất và cách giải các bài tập sách giáo khoa. Quy tắc đếm là một dạng toán phổ biến và có thể áp dụng vào thực tế. Chính vì vậy, các bạn học sinh hãy tham khảo để có thể hoàn thành tốt nhất môn học này nhé.
