Vị trí tương đối của hai đường thẳng – Tổng hợp kiến thức về giải bài tập

Nội dung bài học ngày hôm nay thuộc phần kiến thức vị trí tương đối của hai đường thẳng. Hi vọng những công thức, lý thuyết về cách xác định vị trí và bài tập sẽ là hành trang hữu ích giúp đỡ các em trên hành trình chinh phục toán lớp 10 của mình.

Các em hãy theo dõi bài viết dưới đây nhé!

I. LÝ THUYẾT VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG LỚP 10

Mở đầu chương trình học ngày hôm nay, KienGuru xin được gửi tới các thầy cô cùng các em học sinh toàn bộ lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng. Những nội dung được chia sẻ nhằm giúp các em có kiến thức vững vàng hơn về chuyên đề vị trí tương đối của hai đường thẳng trong toán lớp 10. Mời các thầy cô và các em cùng theo dõi.

1. Các kiến thức cần nhớ

Vị trí tương đối của hai đường thẳng và các kiến thức cần nhớ

Cho hai đường thẳng:

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng:

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau

+) Ta có: y=ax+b với a≠0, b≠0 là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm A(0;b), cắt trục hoành tại điểm B

+) Điểm M (x₀ ; y₀) thuộc đường thẳng y=ax+b khi và chỉ khi y₀ = ax₀ + b

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số m

Phương pháp:

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M(x;y) thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

Đưa phương trình đường thẳng d về phương trình bậc nhất ẩn m.

Từ đó để phương trình bậc nhất ax+b=0 luôn đúng thì a=b=0

Giải điều kiện ta tìm được x,y.

Khi đó M(x;y) là điểm cố định cần tìm.

II. CÁCH XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng được KienGuru chia sẻ chi tiết dưới đây với đầy đủ lý thuyết và phương pháp sẽ giúp học sinh nắm được kiến thức một cách hiệu quả.

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂:

+ Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2( nếu có) là nghiệm hệ phương trình:

Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau.

Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau.

Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song.

III. BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Các em đã nắm được những lý thuyết được KienGuru triển khai ở trên, rồi đúng không nào. Và để nhuần nhuyễn hơn trong việc áp dụng kiến thức đã học, chúng ta hãy cùng nhau giải những bài toán có liên quan trong nội dung này nhé!

Bài 64 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hình bên, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau.

Lời giải:

Ta có: O, A, O’ thẳng hàng

C, A, B thẳng hàng

Suy ra OB // O’C (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: Bx ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: Bx ⊥ O’C

Mà: Cy ⊥ O’C (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: Bx // Cy

Bài 65 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B như hình bên.

Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO’.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của AB và OO’.

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên:

OO’ ⊥ AB tại H

Suy ra: HA = HB = (1/2).AB = (1/2).24 = 12 (cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AOH, ta có:

AO² = OH² + AH²

Suy ra: OH² = OA² – AH² = 15² – 12² = 81

OH = 9 (cm)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AO’H, ta có:

AO’² = O’H² + AH²

Suy ra: O’H²= O’A²– AH² = 13² – 12² = 25

O’H = 5 (cm)

Vậy OO’ = OH + O’H = 9 + 5 = 14 (cm)

Bài 66 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A như hình bên. Chứng minh rằng các bán kính OB và O’C song song với nhau.

Lời giải:

Ta có: OA = OB (= R)

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Suy ra: OB // O’C (vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Bài 67 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD

Lời giải:

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AC là đường kính nên góc (ABC) = 90o

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O’) có AD là đường kính nên góc (ABD) = 90o

Ta có:

Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD

Bài 68 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO’. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D (khác A). Chứng minh rằng AC = AD

Lời giải:

Kẻ OH ⊥ CD, O’K ⊥ CD

Ta có: IA ⊥ CD

Suy ra : OH // IA // O’K

Theo giả thiết : IO = IO’

Suy ra : AH = AK (tính chất đường thẳng song song cách đều) (1)

Ta có : OH ⊥ AC

Suy ra : HA = HC = (1/2).AC (đường kính dây cung) ⇒ AC = 2AH (2)

Lại có : O’K ⊥ AD

Suy ra : KA = KD = (1/2).AD (đường kính dây cung) ⇒ AD = 2AK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC = AD

Bài 69 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O).

a. Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (o’)

b. Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng.

Lời giải:

a. Tam giác AO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên

Suy ra: CA ⊥ O’A tại điểm A

Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Tam giác BO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên

Suy ra: CB ⊥ O’B tại điểm B

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b. Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà O’I ⊥ O’A (gt)

CA ⊥ O’A (chứng minh trên)

Suy ra: O’I // CA => (hai góc so le trong)

Suy ra:

Hay tam giác CIO’ cân tại I => IC = IO’

Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C

Lại có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

KC ⊥ CA (gt)

O’A ⊥ AC (chứng minh trên)

Suy ra: KC // O’A => (hai góc so le trong)

Suy ra:

Hay tam giác CKO’ cân tại K => KC = KO’

Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C

Mặt khác: OC = OO’ (= R)

Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C

Vậy O, I, K thẳng hàng.

Bài 70 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường trong (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng:

a. AB ⊥ KB

b. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn

Lời giải:

a. Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên OO’ ⊥ AB tại H

Ta có: HA = HB

I là trung điểm của OO’ nên IH ⊥ AB (1)

Trong tam giác ABK, ta có:

HA = HB (chứng minh trên)

IA = IK (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra IH là đường trung bình của tam giác ABK

Suy ra IH // BK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB ⊥ KB

b. Vì AB ⊥ KB nên AE ⊥ KB

Lại có: AB = BE (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: KA = KE (tính chất đường trung trực) (3)

Ta có: IO = IO’ (gt)

IA = IK (chứng minh trên)

Tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: OK // O’A và OA // O’K

CA ⊥ O’A (vì CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’))

OK // O’A (chứng minh trên)

Suy ra: OK ⊥ AC

Khi đó OK là đường trung trực của AC

Suy ra: KA = KC (tính chất đường trung trực) (4)

DA ⊥ OA (vì DA là tiếp tuyến của đường tròn (O))

O’K // OA (chứng minh trên)

Suy ra: O’K ⊥ DA

Khi đó O’K là đường trung trực của AD

Suy ra: KA = KD (tính chất đường trung trực) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: KA = KC = KE = KD

Vậy bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

IV. KẾT LUẬN

Với lượng kiến thức chúng ta đã cùng trao đổi với nhau, có lẽ các em đã nắm được kiến thức của vị trí tương đối của hai đường thẳng rồi nhỉ? Những ví dụ liên quan đến nội dung bài học ngày hôm nay cũng đã được KienGuru hướng dẫn giải một cách tỉ mỉ kèm công thức áp dụng.

Hi vọng những chia sẻ trên sẽ là hành trang quý báu giúp đỡ được các em trong việc làm chủ kiến thức toán lớp 10 của mình.

Các em hãy tìm đọc những bài viết khác của Kiến Guru để cập nhật thêm bài giảng của các môn học khác nữa nhé!

Tạm biệt và hẹn gặp lại trong những bài giảng thú vị khác.