Toán 10 Bất Đẳng Thức – Tổng hợp kiến thức và hướng dẫn giải bài tập

Mục lục

Nhằm giúp bạn có thể dễ dàng ghi nhớ các lý thuyết về toán 10 bất đẳng thức. Bài viết sau đây sẽ tổng hợp chi tiết về lý thuyết và hướng dẫn giải cụ thể các bài liên quan. Mời các bạn cùng theo dõi.

I. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT MÔN TOÁN 10 BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC

Bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình toán học lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc những lý thuyết cơ bản trong phần này. Bên cạnh việc ôn tập lý thuyết, bài viết sẽ đưa ra một số ví dụ minh họa để các bạn làm quen và nắm vững phương pháp làm bài. Tìm hiểu cùng Kiến Guru nhé.

A. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề “a > b => c > d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a > b và cũng viết là a > b => c > d.

Nếu bất đẳng thức a > b là hệ quả của bất đẳng thức c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a > b <=> c > d.

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a – b > 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

B. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

2. Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

a + ≥ 2, ∀a > 0.

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

C. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

II. ÁP DỤNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN 10 BẤT ĐẲNG THỨC SGK

Qua phần hệ thống kiến thức trên, chắc hẳn các bạn đã nhớ hơn kiến thức về tính chất cũng như phương pháp giải bài toán liên quan đến bất đẳng thức rồi nhỉ ? Vậy bây giờ chúng ta hãy cùng bắt tay vào giải cụ thể bài toán cùng nhau nhé !

1. Bài 1 (trang 79 SGK Đại Số 10)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x

c) 8×2 > 4×2 ; d) 8 + x > 4 + x

Lời giải

a) Vì 8 > 4 nên 8x > 4x nếu x > 0. Do đó mệnh đề đúng nếu x > 0 và mệnh đề sai nếu .

b) Vì 4 < 8 nên 4x > 8x nếu x < 0. Do đó mệnh đề đúng nếu x < 0 và mệnh đề sai nếu .

c) Nếu x = 0 ta có 8.02 > 4.02 hay 0 > 0 (vô lý). Suy ra mệnh đề sai nếu x = 0.

Nếu thì bất đẳng thức luôn đúng.

Do đó mệnh đề đúng với mọi x ≠ 0.

d) Mệnh đề luôn đúng vì 8 > 4 nên 8 + x > 4 + x với mọi số thực x.

Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.

2. Bài 2 (trang 79 SGK Đại Số 10)

Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?

Lời giải

Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: – 1 < 0 < 1. Do đó,

hay C < A < B.

Lại có x > 5 ⇒ x2 > 52 (Bình phương hai vế)

⇒ (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với )

Vậy ta có C < A < B và C < A < D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.

3. Bài 3 (trang 79 SGK Đại Số 10)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh (b – c)² < a²

b) Từ đó suy ra: a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)

Lời giải

a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)² < a²

⇔ a² – (b – c)² > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)² < a² (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)² < c² (2)

(c – a)² < b² (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)² + (c – a)² + (a – b)² < a² + b² + c²

⇒ b² – 2bc + c² + c² – 2ca + a² + a² – 2ab + b² < a² + b² + c²

⇒ 2(a² + b² + c²) – 2(ab + bc + ca) < a² + b² + c²

⇒ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

4. Bài 4 (trang 79 SGK Đại Số 10)

Chứng minh rằng:

x³ + y³ ≥ x²y + xy², ∀x, y ≥ 0

Lời giải

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 nên x + y ≥ 0.

Xét x³ + y³ ≥ x²y + xy²

⇔ x³ + y³ – x²y – xy² ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y²) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – 2xy + y²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)² ≥ 0.

Vì (x – y)² ≥ 0 với mọi x, y và x + y ≥ 0 (cmt)

Do đó (x + y)(x – y)² ≥ 0 là luôn đúng.

Vậy x³ + y³ ≥ x²y + xy²với x ≥ 0, y ≥ 0.

5. Bài 5 (trang 79 SGK Đại Số 10)

Chứng minh rằng:

Lời giải

Vế trái trở thành: t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = f(t)

+) Nếu t = 0 hoặc t = 1 thì f(t) = 1 > 0

+) Với 0 < t < 1,

f(t) = t⁸ + (t² – t⁵) + 1 – t

t⁸ > 0; 1 – t > 0; t² – t⁵ = t²(1 – t³) > 0

Suy ra f(t) > 0.

+) Với t > 1 thì t – 1 > 0. Do đó f(t) = t⁵(t³ – 1) + t(t – 1) + 1 > 0

6. Bài 6 (trang 79 SGK Đại Số 10)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm O. Khi đó: OH ⊥ AB.

+ Xét tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao nên HA.HB = OH² = 1² = 1

Khi đó ∆OAB có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác này vuông cân tại O nên OA = OB và AB = 2.

+ Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông OAB ta có:

III. GỢI Ý GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP SBT

Với việc hỗ trợ giải cụ thể bài toán trong sách giáo khoa các em đã nắm được phương pháp cũng như cách giải quyết bài toán cụ thể rồi đúng không nào. Và để nhuần nhuyễn hơn trong việc áp dụng kiến thức đã học, chúng ta hãy cùng nhau giải những bài tập có liên quan trong nội dung sách bài tập nhé !