Tổ hợp xác suất là phần kiến thức vô cùng quan trọng, nằm trong chương trình toán lớp 11, thường xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Hiểu rõ, hiểu sâu kiến thức này và áp dụng làm bài thật trơn tru sẽ tạo động lực, sự tự tin, giúp các em dành trọn số điểm trong bài thi toán.
Trong bài viết dưới đây, Kiến Guru sẽ giới thiệu đến các em về toán 11 tổ hợp xác suất, lý thuyết và một số dạng bài tập cơ bản, các em cùng theo dõi nhé!
Các công thức tổ hợp xác suất cần nhớ
Trong phần kiến thức này, các công thức tổ hợp xác suất các em cần nắm thật kỹ, hiểu rõ cách dùng và áp dụng ra sao, thì các em sẽ hoàn thành bài tập một cách dễ dàng. Chúng ta cùng đi vào tìm hiểu về các công thức tổ hợp xác suất nhé!
Công thức tính hoán vị
Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Ta có công thức hoán vị của n phần tử đã cho là:
Công thức tính chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử là tập hợp con của tập hợp S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự.
Ta có số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với 1 k n là:
Các công thức tính tổ hợp
- Tổ hợp lặp
Cho tập A = {; ;…; } và một số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là:
- Tổ hợp không lặp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:
Quy ước:
Tính chất:
+)
+)
+)
+)
Các công thức tính xác suất
Xác suất của biến cố được tính theo công thức:
Trong đó:
+) n(A) là phần tử của tập hợp A, chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến Q
+) là số phần tử của không gian mẫu , chính là số các kết quả có thể có của phép thử T
Bên cạnh đó, khi giải các bài toán về xác suất, các em cần nắm và vận dụng được một số tính chất của xác suất như sau:
+)
+) 0 P 1
+)
+)
+) A và B độc lập
Ví dụ và phương pháp giải toán 11 tổ hợp xác suất
Sau khi đã nắm được công thức tổ hợp xác suất, các em hãy cùng Kiến giải một số ví dụ sau để hiểu hơn về phần kiến thức này nhé.
Ví dụ 1: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi:
- Có tất cả bao nhiêu cách lập?
- Có bao nhiêu cách lập trong đó có 3 nam và 2 nữ?
Bài giải:
- Mỗi cách lập là một tổ hợp chập 5 của 10 phần tử, ta có số cách lập là:
(cách)
- Số cách chọn 3 nam từ 6 nam là:
Số cách chọn 2 nữ từ 4 nữ là:
Số cách chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ là:
. = 20.6 = 120 (cách)
Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được có đủ cả 3 màu.
Bài giải:
Tổng số viên bi trong hộp là 23 viên.
Gọi là không gian mẫu.
Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp ta có cách lấy, hay =10626
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng, 1 bi xanh: (cách)
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng, 1 bi xanh: (cách)
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng, 2 bi xanh: (cách)
n(A) = 5040
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một số bài tập về tổ hợp xác suất SGK
Dưới đây, các em hãy theo dõi cách giải của một số bài tập trong SGK về kiến thức toán 11 tổ hợp xác suất cùng Kiến nhé.
Bài 4 (trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11): Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:
- Các chữ số có thể giống nhau
- Các chữ số khác nhau
Bài giải:
a) Giả sử số có bốn chữ số và các chữ số có thể giống nhau là
Do là số chẵn nên d {0; 2; 4; 6} d có 4 cách chọn
a {1; 2; 3; 4; 5; 6} a có 6 cách chọn
b và c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: Số số chẵn thỏa mãn đề bài là: 6.7.7.4 = 1176 số
b) Gọi số có 4 chữ số khác nhau là
Nếu d = 0 thì số có các chữ số khác nhau thì có cách chọn
Nếu d {2; 4; 6} d có 3 cách chọn
Do a khác 0 và a khác d a có 5 cách chọn
Do b khác a và b khác d b có 5 cách chọn
Do c khác a, b, d c có 4 cách chọn
Như vậy, số số chẵn thỏa mãn đề bài là: 3.5.5.4 = 300 số
Vật có 120 + 300 = 420 số chẵn có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bài 5 (trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11): Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
- Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau
- Ba bạn nam ngồi bên cạnh nhau
Bài giải:
Số cách xếp 6 bạn ngồi thành hàng ngang một cách tùy ý là một hoán vị của 6 phần tử nên số phần tử của không gian mẫu là:
(cách)
a) Gọi A là biến cố “Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau”
+) TH1: Xếp các bạn Nam vào các vị trí lẻ thì có 3! cách xếp và xếp các bạn nữ vào các vị trí chẵn thì có 3! cách xếp Có 3!.3! cách xếp bạn nam và bạn nữ ngồi xen kẽ nhau.
+) TH2: Xếp các bạn Nam vào các vị trí chẵn thì có 3! cách xếp và xếp các bạn nữ vào các vị trí lẻ thì có 3! cách xếp Có 3!.3! cách xếp bạn nam và bạn nữ ngồi xen kẽ nhau.
Vậy n(A) = = 72
Xác suất để bạn nam và bạn nữ ngồi xen kẽ là
b) Gọi B là biến cố “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”
Ba bạn nam ngồi cạnh nhau thì có 3! cách xếp là hoán vị của 3 bạn nam
Xem ba bạn nam là một phần tử thì có 4! cách xếp chung với ba bạn nữ
Theo quy tắc nhân ta có 3!.4! = 144
Vậy
Bài 6 (trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11): Một hộp đựng 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:
- Bốn quả lấy ra có cùng màu
- Có ít nhất một quả màu trắng
Bài giải:
Lấy ngẫu nhiên 4 quả trong 10 quả thì số phần tử của không gian mẫu là:
a) Ta có cách chọn 4 quả có cùng màu trắng
cách chọn 4 quả có cùng màu đen
Gọi A là biến cố “lấy 4 quả lấy ra có cùng màu”
Vậy
b) Gọi B là biến cố “4 quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng”
là biến cố “ 4 quả lấy ra không có quả nào màu trắng”
Ta có:
Vậy
Bài 9 (trang 77 SGK Đại số và Giải tích 11): Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
- Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn
- Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ
Bài giải:
Ta có không gian mẫu {(i ; j)l 1 i; j 6}
= 6.6 = 36
a) Gọi A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
A = {(i ; j)l i; j {2; 4; 6}} n(A) = 3.3 = 9
Vậy P(A) = = 25%
b) Gọi B là biến cố “Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ”
Ta có B = {(1; 1); (1; 3); (1; 5); (3; 3); (3; 5); (5; 5); (3; 1); (5; 1); (5; 3)}
n(B) = 9
Vậy P(B) = = 25%
Trên đây, Kiến Guru đã giới thiệu đến các em kiến thức về Tổ hợp xác suất – Lý thuyết và một số dạng bài tập, hy vọng rằng các em sẽ nắm thật chắc kiến thức và làm bài thật tốt trong các kỳ thi.
Hãy theo dõi các bài học tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu, kiến thức bổ ích nữa nhé.
