Mục lục
Thể tích hình nón thuộc về phân môn Hình học không gian lớp 12. Các bạn muốn nắm chắc kiến thức và làm tốt bài tập hãy đọc ngay bài viết sau. Theo đó, chuyên trang sẽ tổng hợp thông tin chi tiết giúp độc giả hiểu rõ mọi vấn đề.
1. Khái niệm hình nón
Trước khi tìm hiểu công thức tính thể tích hình nón chúng ta cần tìm hiểu một số khái niệm liên quan. Điều này giúp mỗi cá nhân có được cái nhìn tổng quan và xác định tốt các chỉ số, tính toán chuẩn.
1.1. Hình nón là gì?
Hình nón được hiểu là hình khối không gian ba chiều có mặt đáy là hình tròn và có duy nhất một đỉnh. Chúng ta cũng dễ dàng tưởng tượng được hình nón là hình chóp có đáy hình tròn. Bên cạnh đó, các bạn còn bắt gặp nhiều dạng hình nón khác nhau như:
Hình nón
- Hình nón đều: Có hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy của hình nón trùng với tâm của mặt đáy.
- Hình nón xiên: Có hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy của hình nón không trùng với tâm của mặt đáy.
1.2. Mặt nón tròn xoay
Mặt nón tròn xoay chính là mặt ohawngr tạo thành một hình trong không gian thông qua mặt phẳng P chứa một đường thẳng d bất kỳ, cùng đường cong C. Khi đó, ta cần quay mặt phẳng P quanh đường thẳng d với một góc bằng 360 độ. Đường cong C sẽ được hiểu là mặt tròn xoay.
Mặt nón tròn xoay
1.3. Hiểu rõ về hình nón hoặc khối nón
Ta có mặt nón N với trục tam giác là đỉnh O. Góc ở đình này sẽ được xác định là 2α, mặt phẳng P vuông góc với tam giác đã cho tại I khác với đỉnh O. Mặt phẳng Q sẽ là nơi kết nối vuông góc với tam giác tại điểm O.
Như vậy, phần của mặt nón sẽ được giới hạn bởi hai mặt phẳng là P và Q cùng với hình tròn T gọi là hình nón. Khi hình nón kết hợp với phần bên trong của hình sẽ được gọi là khối nón.
Hay nói cách khác, hình nón sẽ được quy định bởi một mặt phẳng. Bên cạnh đó, khối nón sẽ là khối hình trong không gian. Điển hình như khối hình của chiếc nón sẽ được gọi là kích thước của một khối nón thực tế.
Chưa hết, hình tròn T lúc này sẽ là đáy của hình nón, điểm O là đỉnh. Đồng thời, khoảng cách từ điểm O đến với mặt phẳng P được gọi là chiều cao của hình nón.
Trong trường hơp M là một điểm bất kỳ trên mặt P thì OM sẽ là đường sinh của hình nón. Đây cũng trở thành yếu tố cơ bản để tạo nên hình nón hoàn chỉnh và hỗ trợ quá trình tính thể tích hình nón được thuận lợi. Ngoài ra, chúng ta cũng dễ dàng bổ sung, hỗ trợ cho nhau tính được các giá trị còn lại khi không thể đo trực tiếp.
2. Công thức tính thể tích hình nón
Phân không gian mà hình nón chiếm chính là thể tích hình nón. Muốn tính chúng ta áp dụng ngay công thức dưới đây:
V = π.r2.h
Trong đó:
- Thể tích hình nón ký hiệu là V.
- Bán kính của mặt đáy ký hiệu là r.
- Chiều cao của hình nón ký hiệu là h.
- Hằng số π được gọi là pi có giá trị là 3,14.
Ngoài công thức kể trên ta có thể tính thể tích hình nón cụt. Ta gọi r1 và r2 là bán kính hai đáy của hình nón cụt, chiều cao là h, I là độ dài đường sinh. Công thức cụ thể như sau:
V = π.(r12 + r22 + r1.r2).h
Trong đó:
- Thể tích hình nón cụt ký hiệu là V.
- Chiều cao của hình nón cụt ký hiệu là h.
- Bán kính của mặt đáy 1 ký hiệu là r1.
- Bán kính của mặt đáy 2 ký hiệu là r2.
- Hằng số π được gọi là pi có giá trị là 3,14.
3. Các bài tập ứng dụng tính thể tích hình nón
Muốn củng cố kiến thức cũng như công thức tính thể tích hình nón chúng ta nên đi vào làm bài tập. Dưới đây là những dạng toán điển hình, thường gặp các em có thể tham khảo:
3.1. Bài toán 1
Yêu cầu tính thể tích hình nón biết rằng độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm.
Lời giải:
Ta gọi điểm O chính là đỉnh của hình nón, H là tâm của hình tròn và A là điểm thuộc đường tròn đáy.
Ta có: OA = 5cm, HA = 3cm (theo dữ kiện đề bài đã cho)
Ta xét tam giác vuông OHA có:
OH = = = 4.
Áp dụng công thức tính thể tích hình nón ta có: V = π.r2.h = π.32.5 = 12π(cm3).
3.2. Bài toán 2
Yêu cầu tính thể tích của khối nón biết rằng khối nón có góc ở đỉnh là 60 độ. Đồng thời, độ dài đường sinh là 6cm.
Hình vẽ
Lời giải:
Ta có O là đỉnh của khối nón, thực hiện kẻ đường kính AB của hình tròn đáy có tâm H.
Theo đề bài ra khối nón có góc ở đỉnh là 60 độ, độ dài đường sinh là 6cm. Suy ra, tam giác OAB đều nên cạnh AB = 6cm.
- r = HA = 3cm.
Xét tam giác vuông OHA có góc AOH = 30 độ
Cạnh OH = cạnh OA.cos30 độ = 6 = 3 (cm).
Áp dụng ngay công thức tính thể tích hình nón ta có:
V = π.r2.h = π.32. 3 = 9π.
3.3. Bài toán 3
Cho tam giác ABC vuông tại điểm A, cạnh AB = c, cạnh AC = b. Khi ta quay tam giác AB xung quanh cạnh AB sẽ thu được hình nón với thể tích bao nhiêu?
Lời giải:
Ta có, tam giác ABC vuông tại điểm A và quay quanh cạnh AB. Vì thế, ta suy ra AB chính là đường cao, cạnh AC là đường kính đáy.
Áp dụng ngay công thức tính thể tích V = π.r2.h ta được: V = = .
4. Các bước để tính thể tích hình nón
Tính thể tích hình nón là một trong những dạng bài tập thường gặp. Vì thế, các em nên nằm lòng những bước sau đây để làm bài tập tốt nhất, nâng cao kỹ năng giải toán. Đồng thời, chúng ta sẽ chủ động hơn trong kỳ thi học kỳ, tốt nghiệp.
4.1. Bước 1: Đi tìm bán kính khối nón
Nếu đề bài cho sẵn từ đầu ta chỉ việc tiến hành thay vào công thức là xong. Ngược lại, dữ kiện đề bài chưa cho biết các em hãy thực hiện theo những bước sau:
- Đề bài cho đường kính d, ta sẽ đi tìm bán kính bằng cách lấy d chia cho 2.
- Đề bài cho chu vi hình tròn đáy ta sẽ lấy chu vi chia cho 2π = r = bán kính khối nón.
- Trong trường hợp không cho bất kỳ dữ kiện nào ta lấy thước đo chính xác khoảng cách lớn nhất của hai điểm nằm trên đường tròn đáy cùng đường kính. Khi được kết quả lấy số đó chia cho 2 sẽ tìm ra được bán kính khối nón.
4.2. Bước 2: Thực hiện tìm diện tích đáy của khối nón
Sau khi đã biết được bán kính r của khối nón ta tiến hành áp dụng công thức tính diện tích của hình tròn: S= π.r2. Từ đây ta sẽ tìm ra diện tích đáy của khối nón.
4.3. Bước 3: Thực hiện tính chiều cao của khối nón
Căn cứ vào dữ kiện đề bài đã cho ta có thể áp dụng công thức để tính chiều cao của khối nón. Tuy nhiên, nếu như không có các em hãy tự đo bằng thước. Mặt khác, đề bài cho biết đường sinh I cùng bán kính r bạn có thể tính được chiều cao của khối nón bằng việc áp dụng định lý Pytago của tam giác vuông.
=>> Xem thêm nội dung liên quan: Diện tích hình cầu
4.4. Bước 4: Áp dụng công thức để tính ra thể tích hình nón
Cuối cùng, chúng ta đã có được tất cả các đại lượng cần thiết. Do đó, việc tính thể tích hình nón sẽ không còn bất cứ trở ngại nào khác. Các em chỉ việc sử dụng công thức, thay các giá trị và tìm ra đáp án chính xác.
Như vậy, với những phân tích chi tiết trên đây đã giúp bạn nắm chắc kiến thức về thể tích hình nón. Hi vọng chuyên trang đã mang lại nguồn tư liệu hữu ích giúp các em cũng như quý thầy cô tiện tham khảo, tra cứu.
Đăng kí ngay tại đây =>> Kiến Guru<<= để nhận khóa học chất lượng giúp trẻ phát triển tư trong học tập tốt hơn
