Ôn tập toán 9 hình học và giải bài tập SGK (phần 2)

Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 9 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng. Với mục đích giúp học sinh thuận tiện hơn trong việc nhớ Công thức, chúng mình đã biên soạn phần ôn tập toán 9 hình học và giải bài tập SGK Chương 2 Hình học này. Hy vọng bài viết này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 9 hơn. Các thầy cô cũng có thể sử dụng bài tổng hợp này như một tài liệu hữu ích phục vụ quá trình dạy học của mình.

I. Tổng hợp kiến thức toán lớp 9 hình học Chương 2

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Lý thuyết Tổng hợp Chương 2 Hình học 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

+ Trong một đường tròn:

Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

+ Trong hai dây của một đường tròn:

Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

7. Đường tròn nội tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

8. Đường tròn bàng tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

+ Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

+ Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

9. Tính chất đường nối tâm

+ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

10. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r). Đặt OO’ = d.

VTTĐ của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d với R và r
Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r < d < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

– Thiếp xúc ngoài

– Tiếp xúc trong

1 d = R + r

d = R – r

Hai đường tròn không giao nhau:

– Ở ngoài nhau

– (O) đựng (O’)

0 d > R + r

d < R – r

11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

+ Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

+ Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

II. Gợi ý giải toán hình 9 bài tập sgk

Bài tập trang 99, 100

Bài 1 trang 99 sgk Toán 9 – tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm, BC=5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

word image 23368 3

Hướng dẫn giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có OA = OB = OC = OD = R.

Bốn điểm A, B, C, D, cách đều điểm O nên bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

word image 23368 4

Bán kính của đường tròn là

word image 23368 5

Nhận xét: Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.

Bài 2 trang 100 sgk Toán 9 – tập 1

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với mỗi ô ở cột phải để được khẳng định đúng.

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn (4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
(2) Nếu tam giác có góc vuông (5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.
(3) Nếu tam giác có góc tù (6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.
(7) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Nối (1) với (5),

(2) với (6),

(3) với (4).

Bài 3 trang 100 sgk Toán 9 – tập 1

Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

word image 23368 6

a) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC, ta có:

OA = OB = OC = R

Vậy O chính là tâm cuả đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.

word image 23368 7

Ta có OA = OB = OC = R

suy ra word image 23368 8 do đó tam giác ABC vuông tại A

Nhận xét: Định lý trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.

Bài 4 trang 100 sgk Toán 9 – tập 1

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm word image 23368 9 đối với đường tròn tâm O bán kính 2.

word image 23368 10

Giải

word image 23368 11

Bài 5 trang 100 sgk Toán 9 – tập 1

Đố. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.

word image 23368 12

Hướng dẫn giải:

– Trên đường tròn lấy ba điểm A, B, C.

– Vẽ hai dây AB, AC.

– Dựng các đường trung trực của AB, AC chúng cắt nhau tại O, đó là tâm của đường tròn.

Cách khác:

– Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.

– Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. Giao điểm của hai đường kính này là tâm của đường tròn.

Bài 6 trang 100 sgk Toán 9 – tập 1

Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?

word image 23368 13

a) Biển cấm đi ngược chiều (h.58)

b) Biển cấm ôtô (h.59)

Hướng dẫn giải:

a) Hình 58 vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng

b) Hình 59 có một trục đối xứng.

Bài 7 trang 101 sgk Toán 9 – tập 1

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

(1) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm A cố định bằng 2cm (4) là đường tròn tâm A bán kính 2cm
(2) Đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điểm (5) có khoảng cách đến điểm A nhỏ hơn hoặc bằng 2
(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điểm (6) có khoảng cách đến điểm A bằng 2cm
(7) có khoảng cách đến điểm A lớn hơn 2cm

Hướng dẫn giải:

Nối (1) với (4);

(2) với (6);

(3) với (5).

Bài 8 trang 101 sgk Toán 9 – tập 1

Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc Ax. Dựng đường tròn (O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.

Hướng dẫn giải:

word image 23368 14

Phân tích

Giải sử đã dựng được đường tròn (O) thỏa mãn đề bài. Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện:

– O nằm trên đường trung trực m của BC.

– O nằm trên tia Ay.

Cách dựng:

– Dựng đường trung trực m của BC, cắt Ay tại O.

– Dựng đường tròn (O;OB), đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh

Vì điểm O∈m nên OB=OC, suy ra đường tròn (O; OB) đi qua B và C.

Mặt khác, O∈Ay nên đường tròn (O) thỏa mãn đề bài.

Biện luận

Vì m luôn cắt tia Ay tại một điểm O duy nhất nên bài toán luôn có một nghiệm hình.

Bài 9 trang 101 sgk Toán 9 – tập 1

Đố

a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 60 được tạo ra bởi các cung có tâm A, B, C, D ( trong đó A, B, C, D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 60 vào vở.

word image 23368 15

b) Vẽ lọ hoa: Chiếc lọ hoa trên hình 61 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm A, B, C, D, E. Hãy vẽ lại hình 61 vào giấy kẻ ô vuông.

word image 23368 16

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ hình vuông ABCD. Vẽ bốn cung tròn vào trong hình vuông, mỗi cung có tâm là một đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh hình vuông.

b) Vẽ 5 cung tròn có tâm lần lượt là A, B, C, D, E, bán kính bằng đường chéo của mỗi ô vuông tức là bán kính là word image 23368 17

2. Bài tập trang 104

Bài 10 trang 104 sgk Toán 9 – tập 1

Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) DE<BC

Giải

word image 23368 18

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có:

word image 23368 19

Do đó 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC.

b) Xét đường word image 23368 20 BC là đường kính, DE là một dây cung không đi qua tâm, do đó DE<BC.

Bài 11 trang 104 sgk Toán 9 – tập 1

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK

Giải

word image 23368 21

word image 23368 22

3. Bài tập trang 106

Bài 12 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.

Hướng dẫn giải:

word image 23368 23

word image 23368 24

Bài 13 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Hướng dẫn giải:

word image 23368 25

word image 23368 26

Bài 14 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD

.

Giải

word image 23368 27

word image 23368 28

Bài 15 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB>CD

word image 23368 29

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK;

b) ME và MF;

c) MH và MK.

Hướng dẫn giải:

a) Xét trong đường tròn nhỏ:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

word image 23368 30

b) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

word image 23368 31

c) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

word image 23368 32

Bài 16 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Giải

Vẽ OH⊥EF

.

word image 23368 33

Xét tam giác HOA vuông tại H

Ta có: OH<OA

Suy ra EF>BC.

Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với OA là dây ngắn nhất.

Kết luận

Trên đây là phần ôn tập toán 9 hình học và giải bài tập SGK mà chúng mình đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh.

Ngoài ra, các bạn đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục.

Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!

Nhận 100 Triệu và một Macbook Air #4

khi tham gia Học Bổng Trạng Kiến 2022. Chương trình học bổng Trạng Kiến chỉ còn vài giờ nữa là kết thúc. Nhanh tay nhận đăng ký tư vấn về học bổng ngay!

Nhận 100 Triệu và một Macbook Air #3

khi tham gia Học Bổng Trạng Kiến 2022. Chương trình học bổng Trạng Kiến chỉ còn vài giờ nữa là kết thúc. Nhanh tay nhận đăng ký tư vấn về học bổng ngay!

Nhận 100 Triệu và một Macbook Air #2

khi tham gia Học Bổng Trạng Kiến 2022. Chương trình học bổng Trạng Kiến chỉ còn vài giờ nữa là kết thúc. Nhanh tay nhận đăng ký tư vấn về học bổng ngay!

Đăng ký ngay

để nhận các ưu đãi đặc biệt