Trong chương trình toán Đại số, Hàm số là một phần không thể thiếu. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về chuyên đề hàm số bậc 2. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết vừa đưa ra các dạng bài tập áp dụng một cách rõ ràng dễ hiểu. Đây cũng là một kiến thức khá nền tảng giúp các bạn chinh phục các đề thi học kì, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Các bạn hãy theo dõi bài viết “Ôn lý thuyết và giải bài tập Toán 10 hàm số bậc hai – Chính xác và Ngắn gọn” ngay dưới đây nhé!

Tổng hợp kiến thức toán 10 bài 1 hàm số bậc hai

Định nghĩa hàm số bậc hai

• Hàm số bậc hai là hàm số có dạng . Trong đó: a, b, c là những hằng số cho trước và a ≠ 0.
• Tập xác định là D = R.
• Hàm số (a ≠ 0) cũng là một dạng hàm số bậc hai có đồ thị là một đường cong Parabol.

Đồ thị của hàm số bậc hai

Ôn tập lại đồ thị (a ≠ 0)

• Đồ thị hàm số bậc hai này luôn đi qua gốc tọa độ O (0;0).
• Parabol luôn đối xứng qua trục tung.
• Parabol có bề lõm hướng lên trên khi a>0 và hướng xuống dưới khi a<0.

Đồ thị hàm số (a ≠ 0)

Ta có:

Nếu ta đặt:

Hàm số (a ≠ 0) sẽ trở thành

Vì vậy:

Đồ thị hàm số bậc hai (a ≠ 0) là một Parabol có đỉnh nhận đường thẳng là trục đối xứng và bề lõm hướng lên trên khi a>0, bề lõm hướng xuống dưới khi a<0

Sự biến thiên của hàm số bậc hai

• Khi a dương, hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi
• Khi a âm, hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến biến trên khoảng và có giá trị lớn nhất là khi

Các dạng bài tập về hàm số bậc hai thường gặp

Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai dạng

• Gọi hàm số bậc hai cần tìm có dạng (a ≠ 0)
• Dựa vào giả thiết trong đề bài để thiết lập những mối tương quan và tiến hành giải hệ phương trình với các ẩn a, b, c. Sau đó, các em suy ra hàm số cần tìm.

Dạng 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Các bước để vẽ đồ thị hàm số bậc hai (a ≠ 0):

Bước 1. Tìm tọa độ đỉnh

Bước 2. Tìm trục đối xứng của đồ thị theo công thức

Bước 3. Tùy thuộc vào từng hàm số, các em tìm hoành độ và tung độ của các điểm mà đồ thị hàm số bậc hai giao nhau với trục hoành và trục tung (nếu có). Ngoài điểm giao nhau, tìm thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị như điểm đối xứng của các điểm cắt,… giúp đồ thị vẽ một cách chính xác nhất.

Bước 4. Tiến hành vẽ đồ thị theo các điểm đã xác định được.

Dạng 3. Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

Dựa theo đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số (a ≠ 0) các em xác định các điểm max và min của hàm số trong khoảng giá trị [a,b] tại x = a, x = b hoặc

Dạng 4: Tìm tọa độ giao điểm

Muốn giải được bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị f(x) và g(x). Các em giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)

• Để tìm tung độ giao điểm, các em thay nghiệm x vào y = f(x) hoặc y = g(x) để tính y
• Trường hợp (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

Hướng dẫn giải toán 10 bài 3 hàm số bậc hai sgk (sách cũ)

Để hiểu rõ hơn về phần kiến thức hàm số bậc hai, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu lời giải và đáp số toán 10 hàm số bậc hai trong sgk nhé!

1. Bài 1 trang 49

Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của một parabol:

Lời giải:

1. 

+ Đỉnh của Parabol là

+ Khi x = 0 thì y = 2. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; 2).

+ Khi y = 0 thì Phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 1.

Vậy giao điểm với trục hoành là B(2 ; 0) và C(1 ; 0).

b)

+ Đỉnh của Parabol là (1 ; –1).

+ Khi x = 0 thì y = –3. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; –3).

+ Khi y = 0 thì Phương trình vô nghiệm.

Vậy Parabol không cắt trục hoành.

c) y = có a = 1 ; b = –2 ; c = 0 ; Δ= b2 – 4ac = 4.

+ Đỉnh của Parabol là (1 ; –1).

+ Khi x = 0 thì y = 0. Vậy giao điểm với trục tung là O(0 ; 0).

+ Khi y = 0 thì Phương trình có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 2.

Vậy Parabol cắt trục hoành tại hai điểm O(0 ; 0) và A(2 ; 0).

d)

+ Đỉnh của Parabol là (0 ; 4).

+ Khi x = 0 thì y = 4. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; 4).

+ Khi y = 0 thì = 0. Phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = –2.

Vậy Parabol cắt trục hoành tại hai điểm B(2 ; 0) hoặc C(–2 ;0).

1. Bài 2 trang 49

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Lời giải:

a)

+ Tập xác định: R.

+ Đỉnh A(2/3 ; –1/3).

+ Trục đối xứng x = 2/3.

+ Giao điểm với Ox tại B(1/3 ; 0) và C(1 ; 0).

+ Giao điểm với Oy tại D(0 ; 1).

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số :

b)

+ Tập xác định: R

+ Đỉnh A(1/3 ; –2/3).

+ Trục đối xứng x = 1/3.

+ Đồ thị không giao với trục hoành.

+ Giao điểm với trục tung là B(0; –1).

Điểm đối xứng với B(0 ; –1) qua đường thẳng x = 1/3 là C(2/3 ; –1).

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số :

c)

+ Tập xác định : R

+ Đỉnh A(1/2; 0).

+ Trục đối xứng x = 1/2.

+ Giao điểm với trục hoành tại đỉnh A.

+ Giao điểm với trục tung B(0; 1).

Điểm đối xứng với B(0;1) qua đường thẳng x = 1/2 là C(1; 1).

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

d)

+ Tập xác định: R

+ Đỉnh: I (2; 0)

+ Trục đối xứng: x = 2.

+ Giao điểm với trục hoành: A(2; 0).

+ Giao điểm với trục tung: B(0; –4).

Điểm đối xứng với điểm B(0; –4) qua đường thẳng x = 2 là C(4; –4).

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

e)

+ Tập xác định: R

+ Đỉnh A(–1/4 ; 7/8).

+ Trục đối xứng x = –1/4.

+ Đồ thị không giao với trục hoành.

+ Giao điểm với trục tung B(0; 1).

Điểm đối xứng với B(0 ; 1) qua đường thẳng x = –1/4 là C(–1/2 ; 1)

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

f)

+ Tập xác định R

+ Đỉnh A(1/2 ; –3/4).

+ Trục đối xứng x = 1/2.

+ Đồ thị không giao với trục hoành.

+ Giao điểm với trục tung: B(0; –1).

Điểm đối xứng với B(0 ; –1) qua đường thẳng x = 1/2 là C(1 ; –1).

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số :

1. Bài 3 trang 49

Xác định parabol , biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(-2; 8);

b) Đi qua hai điểm A(3; -4) và có trục đối xứng là x = -3/2;

c) Có đỉnh là I(2; -2);

d) Đi qua điểm B(-1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4.

Lời giải:

a)

+ Parabol đi qua M(1 ; 5)

⇒ 5 = a.12 + b.1 + 2 ⇒ a + b = 3 (1) .

+ Parabol đi qua N(–2; 8)

⇒ 8 = a.( –2)2 + b.( –2) + 2 ⇒ 4a – 2b = 6 (2).

Từ (1) và (2) suy ra: a = 2; b = 1.

Vậy parabol cần tìm là y = 2 + x + 2.

b) + Parabol có trục đối xứng x = –3/2

⇒ –b/2a = –3/2 ⇒ b = 3a (1)

+ Parabol đi qua điểm A(3; –4)

⇒ –4 = a.32 + b.3 + 2 ⇒ 9a + 3b = –6 (2).

Thay b = 3a ở (1) vào biểu thức (2) ta được:

9a + 3.3a = –6 ⇒ 18a = –6 ⇒ a = –1/3 ⇒ b = –1.

Vậy parabol cần tìm là y = –1/3 – x + 2.

c) Parabol có đỉnh I(2 ; –2), suy ra :

Từ (1) ⇒ b2 = 16.a2, thay vào (2) ta được 16a2 = 16a ⇒ a = 1 ⇒ b = –4.

Vậy parabol cần tìm là y = – 4x + 2.

d) + Parabol y = a + bx + 2 đi qua điểm B(–1 ; 6)

⇒ 6 = a.( –1)2 + b.( –1) + 2 ⇒ a = b + 4 (1)

+ Parabol y = a + bx + 2 có tung độ của đỉnh là –1/4

Thay (1) vào (2) ta được: b2 = 9.(b + 4) ⇔ b2 – 9b – 36 = 0.

Phương trình có hai nghiệm b = 12 hoặc b = –3.

Với b = 12 thì a = 16.

Với b = –3 thì a = 1.

Vậy có hai parabol thỏa mãn là

1. Bài 4 trang 50

Xác định a, b, c biết parabol đi qua điểm A(8 ; 0) và có đỉnh là I(6 ; -12).

Lời giải:

+ Parabol y = a + bx + c đi qua điểm A (8; 0)

⇒ 64a + 8b + c = 0 (1).

+ Parabol có đỉnh là I (6 ; –12) suy ra:

–b/2a = 6 ⇒ b = –12a (2).

–Δ/4a = –12 ⇒ Δ = 48a ⇒ b2 – 4ac = 48a (3) .

Thay (2) vào (1) ta có: 64a – 96a + c = 0 ⇒ c = 32a.

Thay b = –12a và c = 32a vào (3) ta được:

⇒ a = 3 (vì a ≠ 0).

Từ a = 3 ⇒ b = –36 và c = 96.

Vậy a = 3; b = –36 và c = 96.

Hỗ trợ giải toán 10 bài hàm số bậc hai (sách mới)

Để luyện tập thêm về phần kiến thức này chúng ta hãy cùng nhau giải đáp toán 10 bài hàm số bậc hai ở sách mới nhé!

Hoạt động 1 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 (Cánh diều): Cho hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118

a) Viết công thức xác định hàm số trên về dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần của x.

b) Bậc của đa thức trên bằng bao nhiêu?

c) Xác định hệ số của , hệ số của x và hệ số tự do.

Lời giải:

a) Ta có:

⇔ y = – 0,00188( – 503x + 63252,25) + 118

⇔ y = – 0,00188 + 0,94564x – 118,91423 + 118

⇔ y = – 0,00188 + 0,94564x – 0,91423

Vậy công thức hàm số được viết về dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là

y = – 0,00188 + 0,94564x – 0,91423.

b) Đa thức – 0,00188 + 0,94564x – 0,91423 có bậc là 2. (bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức)

c) Trong đa thức trên, ta có:

+ Hệ số của là: –0,00188

+ Hệ số của x là: 0,94564

+ Hệ số do là: – 0,91423.

Luyện tập 1 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 (Cánh diều): Cho hai ví dụ về hàm số bậc hai.

Lời giải:

* Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y = a + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số và a khác 0.

* Ta có thể lấy nhiều ví dụ về hàm số bậc hai, chẳng hạn như hai ví dụ sau:

+ Hàm số y = 10 + 3x – 7 là hàm số bậc hai.

+ Hàm số y = – 15 + 5 là hàm số bậc hai.

Hoạt động khám phá 1 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1 (Chân trời sáng tạo): Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a) y = 2x(x – 3);

b) y = x( + 2) – 5;

c) y = -5(x + 1)(x – 4).

Lời giải:

a) Xét hàm số: y = 2x(x – 3) = 2 – 6x.

Bậc cao nhất của hàm số là bậc hai.

b) Xét hàm số: y = x( + 2) – 5 = + 2x – 5.

Bậc cao nhất của hàm số là bậc ba.

c) y = -5(x + 1)(x – 4) = – 5 + 15x + 20.

Bậc cao nhất của hàm số là bậc hai.

Vậy hàm số ở ý a) và c) là các số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai.

Thực hành 1 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1 (Chân trời sáng tạo): Hàm số nào trong các hàm số đã cho ở hoạt động khám phá 1 là hàm số bậc hai?

Lời giải:

Các hàm số ở hoạt động khám phá 1:

a) y = 2x(x – 3) = 2 – 6x là hàm số bậc hai với a = 2, b = – 6, c = 0.

b) y = x( + 2) – 5 = + 2x – 5 không là hàm số bậc hai

c) y = -5(x + 1)(x – 4) = – 5 + 15x + 20 là hàm số bậc hai với a = -5, b = 15, c = 20.

Vậy hàm số ở ý a) và c) là các hàm số bậc hai.

Kết luận

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về toán 10 hàm số bậc hai. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ tự ôn tập củng cố lại kiến thức bản thân, vừa rèn luyện tư duy tìm tòi, phát triển lời giải cho từng bài toán. Học tập là một quá trình không ngừng tích lũy và cố gắng. Để dung nạp thêm nhiều điều bổ ích, mời các bạn tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru. Chúc các bạn học tập tốt!