Mục lục
Hình học là một phần trong toán giúp thúc đẩy khả năng tư duy, sáng tạo của các bạn học sinh. Vì vậy các bạn cần hiểu rõ kiến thức để có thể làm tốt bài tập cũng như đạt kết quả cao trong kì thi. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông mà chúng tôi đem đến cho các bạn ở dưới đây sẽ giúp các bạn học tốt bài học trên lớp và rèn luyện khả năng tự ôn luyện tại nhà.
Kiến thức về một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Ta cho tam giác ABC vuông tại A hư hình vẽ trên.
Có BC=a, AC=b, AB=c. Ta sẽ có :
b = a.sinB = a.cosC;
c = a.sinC = a.cosB;
b = c.tanB = c.cotC;
c = b.tanC = b.cotB.
Ở trong một tam giác vuông ta có:
Chú ý
Ở trong một tam giác vuông nếu như cho trước hai yếu tố (ở trong đó có ít nhất là một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta tìm được các yếu tố còn lại.
Bài tập sách giáo khoa bài 4 một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
1 – Bài 28 trang 89
Một cột đèn cao bằng 7m và có bóng trên mặt đất dài là 4m. Hãy tính góc (và làm tròn đến phút) mà khi tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α ở trong hình 31).
Hướng dẫn giải:
Theo như định nghĩa về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta sẽ có:
tanα = = = 1,75
Bấm máy tính là: SHIFT tan 1,75 = Suy ra ta được: α ≈ 60015′
Vậy ta có góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất chính là 60015′
2 – Bài 29 trang 89
Một khúc sông rộng khoảng bằng 250m. Có một chiếc thuyền chèo qua sông và bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới có thể sang được bờ bên kia. Hỏi rằng dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32).
Phương pháp:
+) Ta dựng tam giác có các cạnh và góc để thỏa mãn đề bài.
+) Sử dụng định nghĩa về tỉ số lượng giác của góc nhọn: cosα = . Từ đó ta dùng máy tính tính được số đo góc α.
Hướng dẫn giải:
Theo như định nghĩa về tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta sẽ có:
cosα = =
Bấm máy tính là : SHIFT cos =
Suy ra α≈38∘37′
Vậy là chiếc đò đã lệch đi một góc gần bằng: 38∘37′.
3 – bài 30 trang 89
Cho tam giác ABC, có BC=11cm, =38∘, = 30∘. Gọi điểm N chính là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:
a) Đoạn thẳng AN;
b) Cạnh AC.
Gợi ý: Kẻ đường thẳng BK vuông góc với đường thẳng AC.
Phương pháp:
+) Tam giác ABC vuông tại A thì ta sẽ có .+ = 900
+) Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc ở trong tam giác vuông: Khi tam giác ABC vuông tại A thì:
b = a.sinB Suy ra a=
b = a.cosC Suy ra a =
Hướng dẫn giải:
a) Kẻ BK⊥AC (K∈AC)
Xét tam giác vuông BKC ta sẽ có:
+ = 900
⇒ =90o− =90o−30∘=600
Mà + = => = –
⇔ = 60∘−38∘ = 22∘
Xét tam giác KBC vuông tại K ta có:
BK= BC⋅sinC = 11⋅sin30∘ = 5,5(cm)
Xét tam giác KBA vuông tại K ta có:
BK= AB.cos ⇔5,5=AB.cos22o
⇒AB = ≈ 5,932(cm).
Xét tam giác ABN vuông tại N ta sẽ có:
AN=AB.sin ≈ 5,932.sin38o ≈ 3,652(cm)
b) Xét tam giác ANC vuông tại N ta sẽ có:
AN=AC.sinC ⇒3,652=sin30o.AC
⇔AC= ≈ 7,304(cm)
4 – Bài 31 trang 89
Trong hình 33, có AC=8cm, AD=9,6cm và =90o,
=54o và =74o. Hãy tính:
a) AB;
b)
Phương pháp:
a) Ta sẽ sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:
ΔABC vuông tại B thì có: AB=AC.sinC.
b) Kẻ AH⊥CD
+) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc ở trong tam giác vuông:
ΔABC vuông tại A khi đó: AB=BC.sinC hoặc AC=AB.sinB.
+) Biết được sinα dùng máy tính để tính được số đo góc α.
Hướng dẫn giải:
a) Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
sinC =
Nên AB = AC.sinC = 8.sin540 ≈ 6,472(cm)
b) Kẻ đường thẳng AH vuông góc với CD tại H.
Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:
sinC=
Nên AH=AC.sinC=8.sin740 ≈ 7,69(cm)
Xét tam giác AHD vuông tại H ta sẽ có:
sinD= ≈ 7,699,6 ≈ 0,801⇒ ≈ 53
5 – bài 32 trang 89
Một con thuyền với vận tốc là 2km/h đã vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền đã tạo với bờ một góc 70o. Từ đó ta đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông hay chưa? Nếu như có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu như trên hình vẽ, trong đó có:
AB chính là chiều rộng của khúc sông (và cũng chính là đường đi của thuyền khi mà không có nước chảy).
AC chính là đoạn đường đi của chiếc thuyền (vì là do nước chảy nên thuyền bị lệch).
Theo như giả thiết thuyền qua sông mất 5 phút với vận tốc là 2km/h ( ≈ 33 m/phút),
Do đó suy ra AC ≈ 33.5 = 165 (m).
Vậy ở trong tam giác vuông ABC có C = 70o và AC ≈ 165m nên suy ra có thể tính được chiều rộng của dòng sông.
AB = AC. sinC ≈ 165.sin 70o ≈ 155 (m)
Luyện tập một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông sbt
1 – Bài 52 trang 113
Các cạnh của một tam giác có độ dài lần lượt là 4cm, 6cm và 6cm. Hãy tính được góc nhỏ nhất của tam giác đó.
Hướng dẫn giải:
Theo như đề bài suy ra tam giác đó chính là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác chính là góc đối diện với cạnh là 4cm.
Ta kẻ đường cao từ đỉnh của góc nhỏ nhất. Đường cao này sẽ chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau mỗi phần sẽ bằng 2cm.
Ta có: cos β = = ⇒ β≈70∘32′
=> α=180∘–(β+β)=180∘–2.70∘32’=38∘56′
Vậy suy ra góc nhỏ nhất của tam giác sẽ bằng 38∘56′.
2 – Bài 53 trang 113
Ta có tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm và =40∘. Hãy tính các độ dài dưới đây:
a) AC ;
b) BC ;
c) Phân giác BD.
Hướng dẫn giải:
a) Ta sẽ có: AC = 
b) Ta sẽ có: BC= 
c) Vì ΔABC vuông tại A nên suy ra 
Suy ra: 
Vì BD chính là phân giác của B nên suy ra:
Trong tam giác vuông ABD, ta sẽ có:
BD= = ≈23,1709(cm)
3 – Bài 54 trang 113
Cho hình sau:
Biết:
AB = AC = 8cm, CD = 6cm và =34∘, =42∘. Tính các câu sau:
a) Độ dài cạnh BC;
b) ;
c) Khoảng cách đi từ điểm B đến cạnh AD.
Hướng dẫn giải:
a) Kẻ AI⊥BC
Vì ΔABC cân tại A nên suy ra:
BI=CI= BC
và 
Trong tam giác vuông AIB, ta sẽ có:
BI= AB.sin = 
BC = 2.BI=2 . 2,339=4,678(cm)
b) Kẻ CE⊥AD với E∈AD
Trong tam giác vuông CEA, ta sẽ có:
CE= AC.sin = 8.sin42∘ ≈ 5,353(cm)
Trong tam giác vuông CED, ta sẽ có:
c) Kẻ BK ⊥ AD (K ∈ AD)
Trong tam giác vuông ABK, có:
Vậy là chúng tôi đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản về lý thuyết của một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông cũng như cách giải một số bài tập trong sách bài tập và sách giáo khoa. Hy vọng những gì chúng tôi đem đến cho các bạn phần nào sẽ giúp các bạn cải thiện khả năng tự học và nắm vững kiến thức môn này.
