Lý thuyết và lời giải cụ thể bài 10 trang 71 sgk toán 9 tập 2

Bài viết dưới đây cung cấp lý thuyết và cách giải  bài 10 trang 71 sgk toán 9 tập 2. Bên cạnh đó, một số bài tập cùng nội dung cũng sẽ được hướng dẫn giải nhằm luyện tập và nâng cao khả năng của các bạn học sinh, qua đó dễ dàng vượt qua môn học này. Các bạn hãy cùng theo dõi nhé!

Hệ thống kiến thức trong giải bài 10 sgk toán 9 tập 2 trang 71

1. Lý thuyết về mối liên hệ giữa cung và dây

Định lý 1:

Với hai cung nhỏ ở trong một đường tròn hay là ở trong hai đường tròn bằng nhau:

• 2 cung bằng nhau thì sẽ được căng bởi 2 dây bằng nhau.
• 2 dây bằng nhau sẽ căng 2 cung cũng bằng nhau

Định lý 2:

Với hai cung nhỏ ở trong một đường tròn hay ở trong hai đường tròn bằng nhau:

• Cung lớn hơn căng dây lớn hơn tương ứng.
• Dây lớn hơn căng cung lớn hơn tương ứng.

Chú ý:

• Trong một đường tròn, hai cung sẽ bị chắn giữa hai dây song song thì sẽ bằng nhau.
• Trong một đường tròn, đường kính mà đi qua điểm chính giữa của một cung thì sẽ đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
• Trong một đường tròn, đường kính mà đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì sẽ đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
• Trong một đường tròn, đường kính mà đi qua điểm chính giữa của một cung thì sẽ vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Ta so sánh các dây cung và so sánh các cung

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức như sau:

Với hai cung nhỏ ở trong một đường tròn hay ở trong hai đường tròn bằng nhau:

• Hai cung mà bằng nhau thì sẽ căng hai dây bằng nhau.
• Hai dây mà bằng nhau thì sẽ căng hai cung bằng nhau.
• Cung lớn hơn thì sẽ căng dây được lớn hơn.
• Dây lớn hơn thì sẽ căng cung được lớn hơn.

Ta sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính, định lý Pytago và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Gợi ý giải bài 10 trang 71 SGK toán 9 tập 2

Bài 10 – SGK trang 71

a) Hãy vẽ một đường tròn tâm O có bán kính R = 2cm. Nêu chi tiết các bước vẽ cung AB có số đo bằng 60^o. Tính độ dài dây AB ?

b) Nêu cách chia đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình dưới đây ?

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ một đường tròn tâm O có bán kính là 2cm.

Lấy điểm A trên đường tròn đó, nối O với A và vẽ góc AOB = 60^o

• Ta được cung AB có số đo bằng 60º.

Xét tam giác AOB có OA = OB, góc AOB = 60^o

• Tam giác AOB đều.
• Độ dài dây AB là AB = OA = OB = R = 2 cm.

b) Các bước chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:

• Vẽ một đường tròn tâm đặt tại O có bán kính R.
• Lấy điểm A trên đường tròn đó.
• Vẽ một cung tròn có tâm tại điểm A, bán kính cung tròn là R và cung tròn cắt đường tròn tại 2 điểm B, C.
• Vẽ cung tròn có tâm lần lượt tại B và C, bán kính cung tròn là R, cắt đường tròn tâm O tại giao điểm là D và E.
• Vẽ cung tròn tâm E, bán kính cung tròn là R cắt đường tròn tâm O tại giao điểm F.

Sau khi hoàn thành các bước trên, ta chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên

Lời giải và đáp án các bài tập khác môn toán 9 trang 72 tập 2

Trên đây là một số lý thuyết và gợi ý giải bài 10 trang 71 SGK toán 9 tập 2. Để củng cố kiến thức cho phần này, dưới đây là một số bài tập khác để các bạn học sinh có thể dựa vào đây giải các bài tập.

Bài 11 – SGK trang 72

Cho hai đường tròn bằng nhau là (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm chính là A và B. Kẻ các đường kính AOC và AO’D. Gọi E chính là giao điểm thứ hai của đường thẳng AC với đường tròn (O’).

a) Hãy so sánh các cung nhỏ BC, BD.

b) Hãy chứng minh rằng B chính là điểm chính giữa của cung EBD ( tức điểm B sẽ chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: ∩ BE = BD)

Hướng dẫn giải:

a) Nối điểm C đến D.

Ta đã có 2 đường tròn bằng nhau => AC = AD

=> ∆ ACD cân tại A

Ta lại có góc ABC = 90°; vì OB = OC = OA = R ( theo như tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền )
Tương tự ta sẽ có góc ABD = 90°

Suy ra ABC + ABD = 180°

=> C; B; D sẽ thẳng hàng và AB ⊥ CD

=> BC = BD

Suy ra cung BC = cung BD

b) Ta nối E đến D;

Từ B ta hạ BH ⊥ ED

Ta sẽ có góc DEA = 90° ( chứng minh tương tự theo câu a )

=> BH // EC

Mà theo như a ta sẽ có BE = BD

=> BH chính là đường trung bình tam giác CDE

=> HE = HD

mà ta có BH vuông góc với ED => B điểm chính giữa của cung EBD

Bài 13 – SGK trang 72. 

Hãy chứng minh rằng ở trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì sẽ bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Giả sử như AB và CD chính là các dây song song của đường tròn (O).

Kẻ OI ⊥ AB (I ∈ AB) và OK ⊥ CD với K ∈ CD

Do AB //CD nên ta có I,O,K thẳng hàng. Vì các tam giác OAB, OCD chính là các tam giác cân đỉnh O nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời sẽ là phân giác.

Vì vậy suy ra ta có: Góc ∠O₁ = ∠O₂, ∠O₃ = ∠O₄

Giả sử như AB nằm ngoài góc COD, ta sẽ có:

∠AOC = 180⁰ – (∠O₁ + ∠O₃) = 1800 – (∠O₂ + ∠O₄) = ∠BOD

Suy ra cung AC = cung BD. Nghĩa là hai cung này bị chắn giữa hai dây song song thì sẽ bằng nhau. Các trường hợp khác ta sẽ chứng minh tương tự.

Bài 14 – SGK trang 72. 

a) Hãy chứng minh rằng đường kính đi qua điểm ở chính giữa của một cung thì sẽ đi qua trung điểm của dây cung ấy. Mệnh đề đảo lại có đúng không? hãy nêu thêm các điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Hãy chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì sẽ vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Hướng dẫn giải: 

a) Giả sử như đường kính CD của đường tròn (O) có C chính là điểm chính giữa của cung AB, tức là cung AC = cung CB

=> ∠O₁ = ∠O₂

Gọi I chính là giao điểm của CD và AB. Khi đó OI chính là phân giác, đồng thời cũng là trung tuyến của tam giác OAB (Do ΔOAB cân tại đỉnh O)

Vậy I chính là trung điểm của AB.

• Mệnh đề đảo không đúng vì nếu như dây cung AB cũng chính là một đường kính thì dây CD đi qua trung điểm của dây AB nhưng mà không đi qua điểm chính giữa của cung AB.
• Để mệnh đề đảo chúng ta cần bổ sung thêm điều kiện: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm của đường tròn thì sẽ đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

b)

Thuận: Giả sử như đường kính CD đi qua C chính là điểm chính giữa cung AB ⇒ cung AC = cung CB

⇒ AOC = COB Suy ra OC chính là tia phân giác của góc ∠AOB

Vì ΔOAB cân tại đỉnh O nên đường phân giác đồng thời sẽ là đường cao.

Vậy: OC ⊥ AB hay là CD ⊥ AB.

Đảo: Giả sử như đường kính AB ⊥ CD tại I.

Khi đó: OI chính là tia phân giác của góc ∠AOB

⇒ AOC = BOC ⇒ AC= BC

⇒ C chính là điểm giữa cung AB.

Trên đây là các điểm lý thuyết và một số nội dung đáng chú ý trong các mối liên hệ giữa dây và cung và các bài tập ứng dụng của nó. Toán hình luôn mang đến một nỗi sợ vô hình đối với đại đa số các bạn học sinh, vì vậy các thông tin trên đây vô cùng hữu ích trong việc luyện tập của các bạn. Đặc biệt, bài viết còn cung cấp các gợi ý và đáp án của bài 10 trang 71 sgk toán 9 tập 2 và một số bài tập có cùng nội dung. Hy vọng bài viết trên là hữu ích đối với các bạn học sinh.