Mục lục
Tam giác là một dạng đa giác có chứa 3 cạnh. Bên cạnh đó, sự đặc biệt sẽ xảy ra nếu nó chứa một góc vuông. Các hệ thức tam giác vuông được hướng đến giữa cạnh và đường cao của tam giác.
Hãy ôn luyện lại phần lý thuyết về hệ thức trong tam giác vuông và cùng giải bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1.
I. Tổng hợp kiến thức trong giải bài tập 3 trang 69 toán 9 sgk tập 1
Trong một tam giác vuông, chúng ta thường thấy tồn tại 2 cạnh góc vuông. Vậy cạnh huyền và các cạnh góc vuông có mối liên hệ ra sao? Các cạnh đặc biệt khác trong tam giác vuông có thể được lập thành hệ thức như thế nào?
1. Mối liên hệ giữa cạnh góc vuông trong tam giác với cạnh huyền qua hình chiếu
Trong định lý đầu tiên, ta cũng biết độ dài cạnh huyền bình phương là tổng của bình phương 2 cạnh góc vuông. Chính vì thế, khi chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền, ta thu được cái bóng gọi là hình chiếu. Vậy, hệ thức theo định lý 1 được phát biểu như sau:
Phát biểu của định lý 1
Thông qua đặc điểm này, chúng ta có thể tính toán giá trị các cạnh trong một tam giác vuông. Đặc biệt, độ dài đường cao và hình chiếu của cạnh góc vuông cũng có thể dựa theo hình dạng sơ đồ tam giác sau khi vẽ suy luận và tính toán. Bạn cũng có thể dựa từ đó để xây dựng lên hệ thức tỷ lệ cho các cạnh đó.
Chứng minh định lý 1
Phần chứng minh sẽ giúp bạn được làm rõ và hiểu hơn về định lý. Đây cũng có thể coi là gợi ý cho bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1. Bạn nên đọc kỹ và nắm rõ quy tắc chứng minh này.
2. Các hệ thức có liên quan đến đường cao trong tam giác vuông
Bên cạnh sự liên hệ giữa các cạnh trong tam giác thì mối liên hệ với đường cao (một cạnh vuông góc với cạnh huyền) cũng nên lưu ý. Sở dĩ đường cao của tam giác vuông chỉ ứng với cạnh huyền vì 2 đường cao kia đã trùng khớp với cạnh góc vuông của tam giác. Ta có thể phát biểu định lý thứ 2 về hệ thức trong tam giác vuông:
Phát biểu định lý 2
Định lý 2 là sự liên kết cho hệ thức giữa đường cao của tam giác vuông với hình chiếu của các cạnh trong tam giác vuông đó. Vậy còn cạnh huyền, hệ thức liên hệ giữa cạnh huyền với đường cao có tồn tại không hay cạnh huyền có mối liên hệ mật thiết nào với đường cao không?
Trong định lý thứ 3, khi phát hiểu, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa đường cao với cạnh huyền thậm chí là các cạnh của góc vuông. Khi lấy tích của cạnh huyền và đường cao ta nhận thấy chúng bằng tích 2 cạnh góc vuông trong tam giác. Chính vì thế đây là hệ thức liên hệ của 4 cạnh.
Định lý thứ 3 được công nhận không chỉ sau khi đã tính toán kết quả. Các nhà nghiên cứu đã phân tích khi đưa ra biểu thức này dựa trên nguồn lý thuyết có sẵn. Tích của 2 cạnh góc vuông chính là gấp đôi diện tích của tam giác. Đồng thời, cạnh huyền nhân đường cao cũng được coi là một phần trong công thức.
Như vậy tích cạnh huyền với đường cao hay tích của 2 cạnh góc vuông đều được sử dụng dựa trên công thức tính diện tích cho tam giác tổng quát. Điều này lý giải cho ta rằng tam giác có diện tích cố định nên hệ thức trong định lý 3 là hoàn toàn hợp lý.
II. Chi tiết lời giải bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1
Hãy cùng xem bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1. Sau đó chúng ta sẽ cùng giải và tìm ra đáp số của bài toán.
Đề bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1
Đây là một bài toán cho chúng ta trước hình tam giác và một góc vuông. Chính vì thế, ta sẽ xác định đây là tam giác vuông đã biết số đo 2 cạnh góc vuông. Để tính số đo cạnh x, y, bạn cần tìm ra hệ thức liên quan, sau đó tiến hành tính toán và tìm ra giá trị của các cạnh đó.
Ta sẽ dùng đến định lý số 3 về mối liên hệ giữa tích của 2 cạnh góc vuông và tích của đường cao với cạnh huyền. Với công thức này, ta sẽ lập ra biểu thức là x*y = 5 *7. Thụ gọn biểu thức vừa tìm được ta sẽ có xy = 35. Để giải bài toán, ta cần áp dụng định lý py ta go tìm ra giá trị y.
Do y là cạnh huyền của tam giác vuông nên ta sẽ dùng định lý pytago để tính ra số đo y. y là kết quả sau khi lấy căn bậc hai của tổng bình phương 2 cạnh góc vuông.
Ta có biểu thức dưới căn sau khi tính toán ta có 5*5 + 7*7 = 25 + 49 = 74.
Như vậy, giá trị của y sẽ là căn 74.
Ta có mối quan hệ của xy = 35.
Như vậy x = 35/y.
Từ đó ta có thể tính ra giá trị của x và y theo các định lý đã học ở phía trên.
III. Hướng dẫn giải các bài tập khác môn toán 9 trang 69 sgk tập 1
Các bài tập tương tự bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1
Với những bài tập này, phương pháp tính cũng được sử dụng nhờ các định lý cơ bản. Bạn có thể lần lượt áp dụng và cân nhắc chọn 2 định lý liên quan để tìm ra giá trị x và y.
Bài luyện tập sgk toán 9 trang 69
1. Bài 5
Bài tập này có yêu cầu và cách làm khá tương tự với bài 3 trang 60 sgk toán 9 tập. Tuy nhiên trước khi làm bài, bạn nên vẽ hình ra để tiện cho tính toán. Hãy vẽ hình theo đúng tỷ lệ cạnh đã cho có thể giúp bạn dễ phán đoán được kết quả các số đó trong hình và kiểm tra lại kết quả tính toán.
2. Bài 6
Bài toán cho biết độ dài 2 hình chiếu của cạnh góc vuông trong tam giác. Ta có thể áp dụng các định lý liên quan đến hình chiếu của cạnh góc vuông trong tam giác để tính ra số đo các cạnh còn lại trong tam giác đó.
3. Bài 7
Đây là dạng toán hình học cần có sự tư duy nhiều hơn so với dạng tính toán số học. Bạn cần phân tích được các chức năng của từng cạnh. Sau đó, hãy đưa chúng trở về các hệ thức dựa trên định lý đã được học. Từ đó, chúng ta có thể chứng minh công thức cần tính toán theo những kiến thức cũ hoặc định lý mới học.
IV. Các nội dung lý thuyết liên quan khác (nếu có)
Không dừng lại ở 3 định lý thể hiện mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông, ta còn có thể phát biểu định lý thứ 4. Đây là định lý cuối cùng và có sự đặc biệt hơn cả. Chính vì thế, các bạn học sinh cần hết sức chú ý đến phát biểu của định lý này để nắm chắc lý thuyết cho giải bài 3 trang 6 sgk toán 9 tập 1.
Phát biểu định lý 4 và ví dụ minh họa
Ngoài các định lý về hệ thức liên quan đến các cạnh trong tam giác vuông, có một số điều bạn không nên bỏ qua. Bạn hãy lưu ý một số điều sau để áp dụng cho bài tập. Chúng sẽ giúp ích và hỗ trợ bạn nhiều trong quá trình tư duy.
Một số chú ý thêm cho học sinh nên biết
Kết luận
Bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 1 được lấy làm ví dụ cho học sinh thực hành phần hệ thức và mối liên hệ các cạnh trong tam giác vuông. Để nắm rõ và thuộc hết các định lý, bạn nên thường xuyên làm bài tập ôn luyện.
Các bạn hãy theo dõi các bài viết được đăng tải tại Kiến Guru để cập nhật nhiều kiến thức thú vị của các môn học khác nữa nhé!
Chúc các bạn đạt nhiều điểm số cao trong học tập!
