Hướng Dẫn Giải Toán Lớp 12 Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Chi Tiết.

Ứng dụng tích phân là một dạng toán hay và đòi hỏi tính vận dụng cao. Vì vậy hôm nay, Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn lời giải toán lớp 12 chi tiết cho phần này, mà cụ thể là các bài tập trong sách giáo khoa nâng cao, phần luyện tập (trang 174 – 175). Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ tự ôn tập và rèn luyện được tư duy giải các bài toán dạng này. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:

I. Giải bài tập toán lớp 12 – Bài 34 (trang 174 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau đây có diện tích bao nhiêu:

a. Đồ thị y=x, y=1 và y=x²/4 (xét trong miền x≥0 và y≤1)

b. Đồ thị y=x⁴-4x²+4 và y=x², trục tung và đường thẳng x=1.

c. Đồ thị y=x², y=4x-4 và y=-4x-4.

Hướng dẫn:

a. Đồ thị y=x, y=1 và y=x²/4 (xét trong miền x≥0 và y≤1)

Cách 1:

Ta có hoành độ giao điểm của y=x và y=1 là x=1.

Mặt khác, hoành độ giao điểm của y=1 và parabol y=x²/4 (xét trong miền x≥0 và y≤1) là x=2.

Để ý, tìm hoành độ giao điểm với mục đích tìm ra cận cho các tích phân cần tính sau này.

Như vậy, dựa vào đồ thị trên, diện tích cần tính bằng tổng của diện tích tam giác “cong” OAC và tam giác “cong” ACB.

Ta có diện tích OAC:

Tương tự, diện tích ACB:

Như vậy diên tích cần tìm sẽ là: S=S_OAC+S_ACB=5/6

Cách 2:

Các bạn có thể giải theo cách nhanh hơn sau đây, vì xét trong miền x≥0, nên hình phẳng cần tính sẽ được giới hạn bởi đường thẳng x=2√y, x=y, y=0 và y=1, suy ra:

b. Đồ thị y=x⁴-4x²+4 và y=x², trục tung và đường thẳng x=1.

Diện tích cần tìm sẽ được tính theo công thức sau:

Lại có x⁴-5x²+4=(x²-1)(x²-4)≥0 với mọi xϵ[0;1]:

c. Đồ thị y=x², y=4x-4 và y=-4x-4.

Để ý, hai đường thẳng y=4x-4 và y=-4x-4 đều là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x² tại các tiếp điểm (-2;4) và (2;4). Mặt khác dựa vào tính chất đối xứng của parabol qua trục Oy mà diện tích cần tính sẽ gấp 2 lần diện tích hình OMT₂:

II. Giải toán 12 – Bài 35 (trang 175 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị sau là bao nhiêu

a. y=x²+1 và y=3-x

b. x=y³, y=1 và x=8

c. y=√x, y=6-x và trục Ox.

Hướng dẫn:

a. y=x²+1 và y=3-x

Đối với những bài chưa cho cận để tính tích phân, việc đầu tiên, ta cần tìm các cận đó bằng cách xét hoành độ giao điểm của các hàm số đã cho. Cụ thể, ta xét hoành độ giao điểm của y=x²+1 và y=3-x, giá trị cần tìm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điềm:

Suy ra diện tích cần tính:

b. x=y³, y=1 và x=8

Ta để ý, đây là 2 đồ thị x theo y, như vậy ta sẽ tích phân theo biến y.

Tung độ giao điểm là nghiệm 2 phương trình x=y³ và x=8, hay y³=8 ↔ y=2. Suy ra diện tích cần tìm được tính theo:

c. y=√x, y=6-x và trục Ox.

Bài này tương tự câu b, ta sẽ tìm diện tích bằng cách tích phân theo biến y.

Tung độ giao điểm của y=√x, y=6 là nghiệm của phương trình sau (chú ý y≥0):

Áp dụng công thức diện tích:

III. Giải toán lớp 12 – Bài 36 (trang 175 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Thể tích vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =π, cho biết một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) cắt vật thể bởi thiết diện là một hình vuông cạnh 2√(sinx)

Hướng dẫn:

Diện tích thiết diện cũng là diện tích hình vuông cạnh 2√(sinx):

Suy ra thể tích cần tìm:

IV. Giải toán lớp 12 – Bài 37 (trang 175 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Xét hình phẳng A được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=x², x=0, y=0 và x=2. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi xoay hình A quanh trục Ox là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Thể tích cần tìm được tính theo công thức sau đây:

Suy ra: V=32π/5

Để giải bài tập toán sgk lớp 12, điều kiện tiên quyết các bạn cần phải thuộc và hiểu các công thức về diện tích, thể tích sử dụng tích phân. Như các bạn thấy, các công thức ở các bài vừa qua vừa áp dụng theo x, nhiều bài lại tính tích phân theo biến y. Tích phân theo biến nào tùy thuộc vào cách bạn chọn, miễn là cận tích phân phải tuyệt đối chính xác. 

V. Giải toán lớp 12 – Bài 38 (trang 175 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Xét hình phẳng A được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=cosx, y=0, x=0 và x=π/4. Thể tích khối tròn xoay thu được khi xoay hình A quanh trục Ox là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức tính thể tích, ta có:

VI. Giải toán lớp 12 – Bài 39 (trang 175 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Xét hình phẳng A, được giới hạn bằng các đồ thị hàm số: y=xe^x/2, y=0, x=1 và x=0. Khi xoay quanh hình A quanh trục Ox ta thu được một khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Bài này vẫn sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng xoay quanh trục Ox, tuy nhiên, ta sẽ vận dụng thêm cách tính tích phân từng phần để giải quyết tích phân cần tính, cụ thể:

VII. Giải toán lớp 12 – Bài 40 (trang 175 SGK Giải tích 12 Nâng cao)

Đề: Xét hình phẳng B, được giới hạn bởi đồ thị các hàm số: 

Thể tích khối tròn xoay thu được khi xoay hình phẳng B quanh trục Oy là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Thể tích cần tính sẽ là:

Trên đây là hướng dẫn giải toán lớp 12 chi tiết cho các bài tập ở Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12. Hy vọng qua bài viết, các bạn đã tự ôn tập và đánh giá được mức độ thông hiểu của bản thân đối với dạng toán ứng dụng tích phân này. Đây thực sự là một dạng toán hay, mang nhiều ý nghĩa cho các môn học ứng dụng sau này. Các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết hướng dẫn giải bài tập trên trang của Kiến để tự đo lường khả năng của bản thân nhé. Chúc các bạn may mắn.