Mục lục
Nhằm giúp bạn có thể dễ dàng ghi nhớ các lý thuyết về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, bài viết sau đây sẽ tổng hợp chi tiết về lý thuyết và hướng dẫn giải cụ thể bài 9 trang 59 sgk toán 7 tập 2 cùng những bài toán có liên quan.
Mời các bạn cùng theo dõi.
I. ÔN TẬP LÝ THUYẾT TRONG GIẢI BÀI 9 TRANG 59 SGK TOÁN 7 TẬP 2
Trong chương trình toán hình học, quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu là một phần không thể thiếu. Vì vậy, hôm nay, Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về chuyên đề quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết vừa đưa ra các dạng bài tập áp dụng một cách rõ ràng dễ hiểu. Đây cũng là một kiến thức nền tảng giúp các bạn chinh phục các đề thi học kì, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Cùng nhau tìm hiểu nhé.
1. Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:
• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH < AC, AH < AD, AH < AB
3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC
• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC
• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
AB = AC ⇔ HB = HC
4. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ với BC
Hướng dẫn giải:
Do B’ và C’ lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC nên
Ta có: AC’ < AC ⇒ B’C^’ < B’C
(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Lại có: AB’ < AB ⇒ B’C < BC
(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Khi đó ta có: B’C’ < BC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:
a) PA < CA
b) CP < CB
Hướng dẫn giải:
II. CHI TIẾT LỜI GIẢI BÀI 9 TRANG 59 SGK TOÁN 7 TẬP 2
Qua phần hệ thống kiến thức trên, chắc hẳn các bạn đã nhớ hơn kiến thức về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu rồi nhỉ? Vậy bây giờ, chúng ta hãy cùng bắt tay vào giải cụ thể bài 9 trang 59 sgk toán 7 tập 2 cùng nhau nhé!
Đề bài
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Lời giải
+ Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d.
+ Theo định nghĩa:
MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d.
MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d
AB là hình chiếu của đường xiên MB trên d
AC là hình chiếu của đường xiên MC trên d
AD là hình chiếu cùa đường xiên MD trên d
…
+ Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, …
+ Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP TRANG 59 SGK TOÁN 7 TẬP 2
Với việc hỗ trợ giải cụ thể bài 9 trang 59 sgk toán 7 tập 2. các em đã nắm được phương pháp cũng như cách giải quyết bài toán cụ thể rồi đúng không nào? Và để nhuần nhuyễn hơn trong việc áp dụng kiến thức đã học, chúng ta hãy cùng nhau giải những bài tập có liên quan trong nội dung môn học này nhé!
Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2)
Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?
a) HB = HC;
b) HB > HC;
c) HB < HC.
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta có:
AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC.
HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng BC.
HC là hình chiếu của đường xiên AC trên đường thẳng BC.
Mà AB < AC nên HB < HC (Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn).
Vậy c) đúng.
Bài 10 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2)
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Lời giải:
Giả sử ΔABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB; AM ≤ AC.
– TH1 : Nếu M ≡ B hoặc M ≡ C (Kí hiệu đọc là trùng với) thì AM = AB = AC.
– TH2 : Nếu M nằm giữa B và C và M ≠ B; M ≠ C.
Kẻ AH ⊥ BC tại H
+ Nếu M ≡ H ⇒ AM ⊥ BC tại M hay AM là đường vuông góc từ A đến BC.
Mà AB, AC là các đường xiên từ A đến đường thẳng BC.
Theo định lí 1 : Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường thẳng vuông góc là đường ngắn nhất.
⇒ AM < AB và AM < AC.
+ Nếu M ≠ H giả sử M nằm giữa H và C ⇒ MH < CH.
Vì MH và CH lần lượt là hình chiếu của đường xiên MA và CA trên đường BC
Mà MH < CH ⇒ MA < CA (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B
Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB = AC.
Bài 11 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2)
Một cách chứng minh khác của định lí 2:
Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC < BD thì AC < AD
Hướng dẫn:
a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Lời giải:
a) Ta có BC < BD mà C, D nằm cùng phía so với B ⇒ C nằm giữa B và D.
b) Trong tam giác ACD có góc ACD là góc tù .
Mà AD là cạnh đối diện với góc ACD.
⇒ AD là cạnh lớn nhất trong tam giác ACD (cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất trong tam giác).
nên AD > AC hay AC < AD
Vậy Nếu : BC < BD thì AC < AD.
Bài 12 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2)
Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?
Lời giải:
Dựa vào hình 14 ta nhận thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
Vì vậy muốn đo bề rộng của một tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ.
Cách đặt thước như trong hình 15 là sai.
Bài 13 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2):
Cho hình 16. Hãy chứng minh rằng:
a) BE < BC;
b) DE < BC.
Lời giải:
a) Ta có: BE, BC là hai đường xiên vẽ từ B đến đường AC.
BA ⏊ AC tại A nên A là hình chiếu của B trên AC
⇒ AE, AC lần lượt là hình chiếu của BE, BC trên AC.
Trong hình vẽ E nằm giữa A và C ⇒ AE < AC ⇒ BE < BC (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
b) Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB
Ta có: ED, EB là hai đường xiên vẽ từ E đến đường AB
EA ⏊ AB tại A nên A là hình chiếu của E trên AB.
⇒ AD, AB lần lượt là hình chiếu của ED, EB trên AB
Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB nên ED < EB hay DE < BE (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
Kết hợp với kết quả câu a suy ra DE < BE < BC ⇒ DE < BC.
Bài 14 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2):
Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6 cm.
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Lời giải:
* Vẽ hình:
– Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6cm.
+ Vẽ đoạn thẳng QR = 6cm.
+ Vẽ cung tròn tâm Q và cung tròn tâm R bán kính 5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại P.
+ Nối PQ và PR ta được tam giác cần vẽ.
– Vẽ điểm M: Vẽ cung tròn tâm P bán kính 4,5cm cắt QR (nếu có) tại M.
Vậy ta có thể vẽ được 2 điểm M trên đường thẳng QR để PM = 4,5cm.
* Kẻ đường cao PH của ΔPQR:
Xét hai tam giác vuông tại H: ΔPHQ và ΔPHR có:
PH là cạnh chung
PQ = PR (= 5cm)
Suy ra ΔPHQ = ΔPHR (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó HQ = HR (hai cạnh tương ứng).
Mà HQ + HR = QR = 6 cm.
+ ΔPHR vuông tại H có PR2 = PH2 + HR2 (định lí Py – ta – go).
⇒ PH2 = PR2 – HR2 = 52 – 32 = 16.
⇒ PH = 4 (cm).
Đường vuông góc PH = 4cm là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR.
Vậy chắc chắn có đường xiên PM = 4,5cm (vì 4,5cm > 4cm) kẻ từ P đến đường thẳng QR.
+ Lại có HM, HR lần lượt là hình chiếu của các đường xiên PM, PR trên đường thẳng QR.
Mà PM < PR ⇒ HM < HR; HM < HQ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
⇒ M nằm giữa H và Q hoặc H và R.
⇒ M nằm trên cạnh QP và có hai điểm M như vậy.
IV. KẾT LUẬN
Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về tính chất quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, cùng với lời giải chi tiết của bài 9 trang 59 sgk toán 7 tập 2. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ tự ôn tập củng cố lại kiến thức bản thân, vừa rèn luyện tư duy tìm tòi, phát triển lời giải cho từng bài toán. Học tập là một quá trình không ngừng tích lũy và cố gắng.
Để dung nạp thêm nhiều điều bổ ích, mời các bạn tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru.
Chúc các bạn học tập tốt !
