Hệ thống bài tập đạo hàm lượng giác chọn lọc

Nhằm hỗ trợ học sinh trong quá trình hệ thống lại bài học cũng như củng cố thêm kiến thức, bài viết dưới đây sẽ tóm tắt các lý thuyết và công thức cần nhớ. Bên cạnh đó, hướng dẫn giải chi tiết các bài tập đạo hàm lượng giác thường gặp.

Phương pháp giải bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác

Trước khi thực hiện các bài tập đạo hàm lượng giác, chúng ta cần điểm qua lại một số lý thuyết cần biết và các công thức cần nhớ của bài học này nhằm củng cố lại kiến thức và tóm tắt các kiến thức chính để thực hiện được các bài tập liên quan đến bài học này một cách tốt nhất.

1 – Các lý thuyết cần biết và các công thức cần nhớ về đạo hàm của lượng giác

• Định lý giới hạn của sinx/x có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý đạo hàm của hàm số y = sinx có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý đạo hàm của hàm số y = cosx có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý đạo hàm của hàm số y = tanx có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý đạo hàm của hàm số y = cotx có công thức cần nhớ như sau:

• Bảng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lượng giác tổng hợp có các công thức cần nhớ như sau:

2 – Các quy tắc tính đạo hàm thường gặp trong các bài tập liên quan và công thức cần nhớ

• Định lý đạo hàm của một số mũ có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý đạo hàm của một số căn có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý đạo hàm của các tổng, hiệu, thường và tích có công thức cần nhớ như sau:

• Hệ quả của các đạo hàm có công thức cần nhớ như sau:

• Định lý về các đạo hàm hợp có công thức cần nhớ như sau:

Tổng hợp công thức tính bài tập đạo hàm lượng giác.

Các ví dụ đạo hàm lượng giác – bài tập

Để có cái nhìn dễ dàng sau khi hệ thống phần lý thuyết bài tập đạo hàm lượng giác, cũng như để hiểu hơn về các công thức ở trên, chúng ta có thể tham khảo một số các ví dụ liên quan dưới đây để có thể nhớ bài tốt nhất.

1 – Ví dụ về tính giới hạn của sinx/x

Nội dung: Hãy tính giới hạn của hàm số đã cho sau đây:

Cách giải: Ở bài này thì trước tiên ta cần gọi x-1 = t và khi x tiến đến gần 1 thì đồng nghĩa t sẽ đến gần 0. Bài này bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết sau đây:

2 – Ví dụ về tính đạo hàm của hàm số y = sinx

Nội dung: Hãy tính đạo hàm của hàm số đã cho sau đây:

Cách giải: Ở bài này thì trước hết ta cần đạo hàm bài toán theo công thức đạo hàm y = sinx rồi rút gọn đến mức tối đa là được. Bài này bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết sau đây:

3 – Ví dụ về tính đạo hàm của hàm số y=cosx

Nội dung: Hãy tính đạo hàm của hàm số đã cho dưới đây:

Cách giải: Trước tiên ta cần gọi u = pi/2-x rồi thế vào bài toán. Sau đó đạo hàm đề bài rồi thay x = pi/3 tiếp đến chỉ cần rút gọn tới mức tối đa là được. Bài này bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết sau đây:

4 – Ví dụ về tính đạo hàm của hàm số y=tanx

Nội dung: Hãy tính giá trị đạo hàm của hàm số đã cho dưới đây:

Cách giải: Để bài toán được đơn giản hơn thì ta gọi phần giá trị trong căn bằng u. Sau đó đạo hàm theo công thức đạo hàm của số căn rồi rút gọn kết quả tối đa là được. Bài này bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết sau đây:

5 – Ví dụ về tính đạo hàm của hàm số y=cotx

Nội dung: Hãy tính đạo hàm của hàm số đã cho sau đây:

Cách giải: Ở bài toán này thì sẽ đơn giản hơn các bài tập ví dụ ở phía trước nghĩa là bạn chỉ cần đạo hàm theo công thức đạo hàm của y=cotx. Sau đó, rút gọn bài toán về giá trị tối giản nhất có thể là được. Bài này bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết sau đây:

Các ví dụ liên quan.

Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác chọn lọc

Sau khi đã phần nào nắm được các kiến thức quan trọng của bài học này, chúng tôi sẽ hướng dẫn các bạn hãy thực hiện một số các bài tập đạo hàm lượng giác nhằm giúp bạn nâng cao khả năng logic và vận dụng được phần lý thuyết đã học trên.

1 – Bài 28 trang 211 sgk Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Nội dung: Hãy tính các giới hạn của các bài sau đây:

Cách giải: Ở các bài toán này ta cần nhớ công thức tính giới hạn của hàm số. Sau đó, thực hiện áp dụng công thức và biến đổi các tan về sin và cos sao cho có thể ra giá trị trên vòng tròn lượng giác cụ thể như sau:

2 – Bài 29 trang 211 sgk Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Nội dung: Hãy tính đạo hàm của các hàm số y cho dưới đây:

Cách giải: Ở các bài này, ta cần nhớ các công thức về đạo hàm lượng giác đã cho ở phần lý thuyết được tổng hợp ở trên. Sau đó, ta tiến hành thực hiện đạo hàm từng bài xong rút gọn là được. Bạn có thể tham khảo cách tính của các bài toán dưới đây:

3 – Bài 30 trang 211 sgk Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Nội dung: Hãy chứng minh rằng hàm số sau: y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x sao cho hàm số đó có đạo hàm bằng 0.

Cách giải: Ở bài này trước hết ta cần tách sin⁶x + cos⁶x với a là sin²x và b là cos²x thì ta có sin²x + cos²x =1 nên ta nhân lại với phần đã tách rồi rút gọn từng phần còn lại là được. Bạn có thể tham khảo cách giải của bài toán này như sau:

4 – Bài 31 trang 212 sgk Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Nội dung: Hãy tính đạo hàm của các hàm số y đã cho dưới đây:

Cách giải: Ở bài này ta sẽ đạo hàm hàm số đã cho trước, sau đó biến đổi các biến tan và cot về sin và cos rồi rút gọn tối giản nhất là được. Các bạn có thể tham khảo phần hướng dẫn giải bài toán trên cụ thể dưới đây:

5 – Bài 32 trang 212 sgk Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Nội dung: Hãy chứng minh các hàm số với điều kiện đã cho như sau:

1. Bạn hãy chứng minh hàm số y=tanx này sao cho thỏa mãn hệ thức: y’ – y² – 1 = 0

b) Bạn hãy chứng minh hàm số y=cot2x này sao cho thỏa mãn hệ thức: y’ + 2y² + 2 = 0

Cách giải:

Các dạng bài tập liên quan.

Kết luận

Đạo hàm lượng giác là có 5 dạng là đạo hàm dạng y = sinx, y = cosx, y = tanx và y = cotx. Bên cạnh đó, các bạn cũng cần nhớ bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp để có thể thực hiện chuyển đổi các bài toán bài tập một cách nhanh nhất. Một trong những cách nhớ và hiểu bài này lâu nhất chính là thực hiện các bài tập đạo hàm lượng giác. Điều này vừa giúp củng cố kiến thức đã học cũng như nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào bài tập của học sinh.

Trên đây là các thông tin về hệ thống kiến thức và hướng dẫn thực hiện chi tiết bài tập đạo hàm lượng giác. Công thức của dạng bài này khá nhiều và cũng khá khó nhớ. Do đó, bạn cần thực hiện nhiều bài tập hơn từ cơ bản đến nâng cao để hiểu bài. Mong rằng với những thông tin trên có thể giúp các bạn học sinh hiểu và vận dụng được các lý thuyết quan trọng vào những bài tập tương tự sau này.