<img height="1" width="1" style="display:none" src="https://www.facebook.com/tr?id=520621092076200&amp;ev=PageView&amp;noscript=1">

Hàm Số Bậc 2 Và Ứng Dụng Trong Giải Toán.

Kien Team thg 2 19, 2021 • 11 phút đọc


Trong chương trình toán Đại số, Hàm số là một phần không thể thiếu. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về chuyên đề hàm số bậc 2. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết vừa đưa ra các dạng bài tập áp dụng một cách rõ ràng dễ hiểu. Đây cũng là một kiến thức khá nền tảng giúp các bạn chinh phục các đề thi học kì, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Cùng nhau tìm hiểu nhé:

I. Hàm số bậc 2 - Lý thuyết cơ bản.

Cho hàm số bậc 2:

- Tập xác định D=R
- Tính biến thiên:

a>0: hàm số nghịch biến trong khoảng và đồng biến trong khoảng

Bảng biến thiên khi a>0:

ham-so-bac-2-01

 

a<0: hàm số đồng biến trong khoảng và nghịch biến trong khoảng
Bảng biến thiên khi a<0:

ham-so-bac-2-02

Đồ thị:
- Là một đường parabol (P) có đỉnh là:

biết rằng:

- Trục đối xứng x=-b/2a.
- Parabol có bề lõm quay lên trên nếu a>0 và ngược lại, bề lõm quay xuống dưới khi a<0

ham-so-bac-2-03

 

II. Ứng dụng hàm số bậc 2 giải toán.

Dạng bài tập liên quan khảo sát hàm số bậc 2.

Ví dụ 1: Hãy khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cho phía dưới:

  1. y=3x2-4x+1
  2. y=-x2+4x-4

Hướng dẫn:

1. y=3x2-4x+1

- Tập xác định: D=R

- Tính biến thiên:

  • Vì 3>0 nên hàm số đồng biến trên (⅔;+∞) và nghịch biến trên (-∞;⅔).
  • Vẽ bảng biến thiên:

ham-so-bac-2-04

Vẽ đồ thị:

  • Tọa độ đỉnh: (⅔ ;-⅓ )
  • Trục đối xứng: x=⅔ 
  • Điểm giao đồ thị với trục hoành: Giải phương trình y=0⇔3x2-4x+1=0, được x=1 hoặc x=⅓  . Vậy giao điểm là (1;0) và (⅓ ;0)
  • Điểm giao đồ thị với trục tung: cho x=0, suy ra y=1. Vậy giao điểm là (0;1)

ham-so-bac-2-05

  • Nhận xét: đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên.

2. y=-x2+4x-4

Tập xác định: D=R

Tính biến thiên:

  • Vì -1<0 nên hàm số đồng biến trên (-∞;2), hàm số nghịch biến trên (2;+∞).
  • Vẽ bảng biến thiên:

ham-so-bac-2-06

Vẽ đồ thị:

  • Tọa độ đỉnh: (2;0)
  • Trục đối xứng x=2.
  • Điểm giao đồ thị với trục hoành: giải phương trình hoành độ giao điểm y=0 ⇔-x2+4x-4=0, được x=2. Suy ra điểm giao (2;0)
  • Điểm giao đồ thị với trục tung: x=0, suy ra y=-4. Vậy điểm giao là (0;-4).

ham-so-bac-2-07

  • Nhận xét: đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

 

Ví dụ 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c để đồ thị © hàm số y=ax2+bx+c thỏa mãn: © đi qua điểm (-1;4) và có đỉnh là (-2;1)?

Hướng dẫn:

Nhận xét chung: để giải bài tập dạng này, ta cần nhớ: 

  • Một điểm (x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi y0=f(x0)
  • Đỉnh của một hàm số bậc 2: y=ax2+bx+c có dạng:

với :

Từ nhận xét trên ta có: 

  • (-1;4) ∈ © , suy ra 4=a-b+c
  • (-2;1) ∈ ©, suy ra: -1=4a-2b+c
  • (-2;1) là đỉnh của © nên: -b/2a=-2 ⇒4a-b=0 

Kết hợp ba điều trên, có hệ sau:

Vậy hàm số cần tìm là: y=5x2+20x+19

 

Dạng bài tập tương giao đồ thị hàm số bậc 2 và hàm bậc 1

Phương pháp để giải bài tập tương giao của 2 đồ thị bất kì, giả sử là (C) và (C’):

  • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)
  • Giải trình tìm x. Giá trị hoành độ giao điểm chính là các giá trị x vừa tìm được.
  • Số nghiệm x chính là số giao điểm giữa (C) và (C’).


Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x-3 và trục hoành.

Hướng dẫn:

Phương trình hàm số thứ nhất:y= x2+2x-3.

Phương trình trục hoành là y=0.

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+2x-3=0 ⇔ x=1 ∨ x=-3.

Vậy đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại 2 giao điểm (1;0) và (1;-3).

 

Ví dụ 2: Cho hàm số y= x2+mx+5 có đồ thị (C) . Hãy xác định tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=1?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+mx+5=1 ⇔ x2+mx+4=0 (1)

Để (C) tiếp xúc với đường thẳng y=1 thì phương trình (1) phải có nghiệm kép.

suy ra: ∆=0 ⇔ m2-16=0 ⇔ m=4 hoặc m=-4.

Vậy ta có hai hàm số thỏa điều kiện y= x2+4x+5 hoặc y=x2-4x+5

 

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 2 y=x2+3x-m có đồ thị (C) . Hãy xác định các giá trị của m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm?

Hướng dẫn:

Nhận xét: Ta sử dụng hệ thức Viet cho trường hợp này. Xét phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức:

Ta lập phương trình hoành độ giao điểm: x2+3x-m=-x ⇔x2+4x-m=0 (1)

Để (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt âm.

  • Điều kiện có hai nghiệm phân biệt: ∆>0 ⇔ 16+4m>0 ⇔m> -4.
  • Điều kiện hai nghiệm là âm: 

Vậy yêu cầu bài toán thỏa khi 0>m>-4.

III. Một số bài tập tự luyện về hàm số bậc 2.

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

  1. y=x2+2x-3
  2. y=2x2+5x-7
  3. y=-x2+2x-1

Bài 2: Cho hàm số y=2x2+3x-m có đồ thị (Cm). Cho đường thẳng d: y=3.

  1. Khi m=2, hãy tìm giao điểm của (Cm) và d.
  2. Xác định các giá trị của m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng d.
  3. Xác định các giá trị của m để (Cm) cắt d tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

Gợi ý:

Bài 1: Làm theo các bước như ở các ví dụ trên.

Bài 2: 

  1. Giải phương trình hoành độ giao điểm, được giao điểm là (1;3) và (-5/2;3)
  2. Điều kiện tiếp xúc là phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép hay ∆=0.
  3. Hoành độ trái dấu khi x1x2<0 ⇔ -m-3<0 ⇔ m>-3


Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về hàm số bậc 2. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ tự ôn tập củng cố lại kiến thức bản thân, vừa rèn luyện tư duy tìm tòi, phát triển lời giải cho từng bài toán. Học tập là một quá trình không ngừng tích lũy và cố gắng. Để dung nạp thêm nhiều điều bổ ích, mời các bạn tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru. Chúc các bạn học tập tốt!

chao-hoc-ki-2