Mục lục
Bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2 về tính chất 3 đường truyng tuyến của tam giác đã được Kiến Guru tổng hợp và chia sẻ trong bài viết này. Các em học sinh muốn tìm hiểu cách giải chi tiết hãy dành thời gian đọc ngay nội dung sau đây. Thông qua đó, bạn sẽ tra cứu thông tin hữu ích và học tốt phân môn hình học hơn mỗi ngày.
I. Hệ thống kiến thức trong giải bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2
Bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2 cần áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Trước khi đi vào trình bày chi tiết chúng ta hãy ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng sau đây:
1.1. Đường trung tuyến trong tam giác
Hình vẽ
Ta có:
Ta gọi đoạn thẳng AM được nối từ đỉnh A của tam giác ABC là đường trung tuyến của tam giác ABC. Đồng thời, đường thẳng AM cũng có thể gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Đặc biệt, mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến. Ta có thể hiểu đường trung tuyến của một tam giác chính là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.
1.2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Có 2 định lý quan trọng về Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Cụ thể như sau:
- Định lý 1: Khi ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ta gọi điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
- Định lý 2: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy,
II. Hướng dẫn giải bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2
Chúng ta hãy cùng áp dụng những kiến thức được tổng hợp ở phần trên để giải bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2 nhé!
2.1. Yêu cầu
chứng minh định lý: “Trong một tam giác cân hai đường trung tuyến sẽ ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.
2.2. Lời giải
Muốn giải bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2 ta áp dụng tính chất của tam giác cân và trung tuyến của tam giác. Từ đó, ta sẽ chứng minh được hai tam giác bằng nhau. Cụ thể như sau:
Ta có tam giác ABC cân tại điểm A nên AB = AC; góc BCM = góc CBN (dựa vào tính chất của tam giác cân).
Vì điểm M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB nên suy ra: AN = BN = AM = CM = AB/2 = AC/2.
Ta xét tam giác BCM và tam giác CBN có cạnh BC chung.
Góc BCM = CBN.
Cạnh CM = BN (căn cứ theo chứng minh trên).
Như vậy, tam giác BCM bằng tam giác CBN (cạnh, góc, cạnh).
Suy ra được cạnh BM = cạnh CN (hai cạnh tương ứng).
III. Hỗ trợ giải đáp các bài tập trang 67 SGK toán 7 tập 2
Bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2 đã được giải xong. Các em muốn tìm hiểu thêm các bài tập khác cùng cách giải chi tiết hãy nhanh chóng tham khảo ngay nội dung dưới đây:
3.1. Bài 25 trang 67 toán 7 tập 2
Yêu cầu giải bài toán sau:
Cho tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Hãy tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải:
Muốn giải bài tập này, các em áp dụng ngay tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Đồng thời, chúng ta nhận xét trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền. Sau đó học sinh sử dụng định lý Pytago.
Hình vẽ
Ta áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại điểm A với:
Ta gọi điểm M chính là trung điểm của cạnh BC nên suy ra AM sẽ là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.
Do đó: AM = 1/2BC (1). Như vậy, trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Vì điểm G chính là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2/3AM (2).
Ta thực hiện thay (1) vào (2) có:
AG = 2/3. 1/2BC.
Suy ra: AG = 1/3BC = 5/3 (cm).
3.2. Bài 27 trang 67 toán 7 tập 2
Yêu cầu chứng minh “Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì hai tam giác đó cân”.
Lời giải:
Muốn chứng minh được tam giác ABC cân tại điểm A các em cần chứng minh góc B = góc C hoặc cạnh AB = cạnh AC. Nội dung trình bày và phân tích cụ thể như sau:
Ta có tam giác ABC có các đường trung tuyến là BM và CN cắt nhau ở G. Suy ra G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
Mặt khác: GB = 2/3BM; GC = 2/3CN.
Cạnh BM = cạnh CN (theo giả thiết) nên cạnh GB = cạnh GC.
Tam giác GBC có cạnh GB = GC nên tam giác GBC cân tại điểm G.
Suy ra góc GCB = góc GBC (theo chứng minh trên).
Suy ra tam giác BCN = góc MCB (dựa vào hai góc tương ứng).
Như vậy, tam giác ABC cân tại điểm A vì tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
3.3. Bài 28 trang 67 toán 7 tập 2
Cho tam giác DEF cân tại điểm D với đường trung tuyến là DI. Yêu cầu:
- Chứng minh hai tam giác DEI và DFI bằng nhau.
- Cho biết góc DIE và DIF là những góc gì?
- Tính độ dài của đường trung tuyến DI khi biết DE = DF = 13cm và EF = 10cm.
Lời giải:
Muốn giải bài tập này, các em hãy áp dụng ngay tính chất của tam giác cân, tính chất đường trung tuyến. Đồng thời, định lý Pytago cũng là nội dung quan trọng học sinh cần lưu tâm. Nội dung được trình bày và phân tích cụ thể như sau:
3.4. Bài 29 trang 67 toán 7 tập 2
Cho điểm G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Yêu cầu chứng minh GA = GB = GC.
Lời giải
Muốn giải được bài tập này các em áp dụng ngay định lý ở bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2. Nội dung sẽ trình bày chi tiết ngay sau đây:
Ta gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là trung điểm của cạnh AC và P là trung điểm của cạnh AB.
Tam giác ABC chính là tam giác đều (theo giả thiết).
Suy ra cạnh AB = cạnh AC = cạnh BC (theo tính chất).
Ta xét tam giác ABC có cạnh AB = cạnh AC (theo chứng minh trên).
Suy ra tam giác ABC cân tại điểm A (dựa theo tính chất).
Cạnh BN = CP (hai đường trung tuyến).
Bên cạnh đó: GB = GC = 2/3BN.
Ta xét tam giác ABC với BA = BC.
Suy ra tam giác ABC cân tại điểm B.
Cạnh CP = cạnh AM (hai đường trung tuyến).
Cạnh GA = GC = 2/3CP.
Từ đó, ta có thể suy ra GA = GB = GC (điều phải chứng minh).
3.5. Bài 30 trang 67 toán 7 tập 2
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Lấy điểm G’ trên tia AG sao cho G là trung điểm của AG’. Yêu cầu:
- So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Thực hiện so sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG; với các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
- Ta gọi:
- Trung điểm của BC là M.
- Trung điểm của AC là N.
- Trung điểm của AB là O. Khi đó, AM, BN, CP chính là các đường trung tuyến.
Do vậy, G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Dựa vào tính chất của đường trung tuyến trong tam giác ta có:
GB = 2/3BN (1).
GA = 2/3AM, trong khI đó, GA = GG’( do G là trung điểm của AG;) nên GG’ = 2/3 AM (2).
GM = ½ AG, AG = GG’, suy ra GM = 1/2GG’ => GM = MG’.
Ta xét tam giác GMC và tam giác G’MB có: GM = GM’, Góc GMC = G;MB (hai góc đối đỉnh)
MC = MB (giả thiết)
Do đó ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c).
Suy ra GC = G’B (hai cạnh tương ứng).
Mà GC= 2/3 CP (tính chất đường trung tuyến)
Do đó BG’ = 2/3 CP (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: GG’ = 2/3AM; BG’ = 2/3 CP; BG = 2/3BN.
==> Xem thêm nội dung liên quan: Bài 6 trang 83 sgk toán 7 tập 1
Trên đây là phần tổng hợp nội dung bài học về tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác và hướng dẫn giải chi tiết bài 26 trang 67 SGK toán 7 tập 2. Hi vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các em học sinh trong quá trình rèn luyện.
Các em cần thêm bất cứ hỗ trợ nào khác hãy kết nối tới Kiến Guru ngay hôm nay.
Chúc các em đạt nhiều thành tích cao trong học tập!
