Bài 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2 là bài tập nằm trong khối kiến thức Bài 1 “Phương trình bậc nhất hai ẩn”. Đây là kiến thức không quá khó nhưng lại quan trọng nên các bạn học sinh trong quá trình học bài, nghe giảng từ giáo viên phải tập trung chú ý cao độ để hiểu bài, đồng thời đó tham khảo thêm ở các trang mạng để hiểu hơn.

I. Kiến thức trong giải bài 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2

Phương trình bậc nhất hai ẩn hay phương trình bậc nhất 2 biến là khối kiến thức xuyên suốt quá trình học toán của các bạn học sinh các lớp và các cấp học. Đây là tiền đề của phương trình bậc hai 1 ẩn hay các bài học khó hơn về tìm ẩn hay tính toán các phương trình có chứa ẩn. Không chỉ đơn giản là các số nguyên hay số tự nhiên mà còn là các chữ số thập phân, số khai căn,… Vậy ta cùng đi vào tìm hiểu và ôn tập về bài trên và thực hiện giải bài tập 1.

1. Định nghĩa về phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta gọi x và y là hai ẩn, a và b là phần hệ số của phương trình

Vậy phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ thức có dạng a * x + b * y = c

Với a, b và c là các số đã được cho trước, a và b khác 0.

Ví dụ:

1, 4 * x + y = 3 là phương trình bậc nhất hai ẩn x và y với hệ số a = 4, b = 1 và c là 2.

2, 6 * x + 2 * y = 8 là phương trình bậc nhất hai ẩn x và y với hệ số a = 6, b = 2 và c = 8.

3, + 2 * y = 4 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn bởi vì ẩn x là bậc 2.

2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn là các cặp số có giá trị (x1, y1), (x2, y2),… với 2 ẩn x và y thỏa mãn được các tính chất: Khi ta thay vào phương trình đó các giá trị ẩn x và y, ta tìm được thì giá trị của hai biểu thức tương ứng ở hai vế của phương trình là đều bằng nhau.

Cặp giá trị của phương trình (x1, y1) là 1 nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn a * x1 + b * y1 = c

Khi đó, ta viết nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là: (x, y) = (x1, y1)

Ví dụ: phương trình bậc nhất 2 ẩn x + 3 * y = -1 nghiệm là cặp số (2, -1) (1)

Ta thực hiện thay x = 2 và y = -1 vào phương trình ở vế trái VT = x + 3 * y, ta được:

VT = 2 + 3 * (-1) = -1

Mà vế phải của phương trình cũng = -1

Vậy suy ra ta có vế trái = vế phải

Vậy cặp số (2, -1) là nghiệm của phương trình (đpcm).

Nghiệm của phương trình cũng là cặp số (5, -2) (1)

Ta thực hiện thay x = 5 và y = -2 vào phương trình bậc nhất 2 ẩn x + 3 * y thì ta được:

Vế trái (VT) = 5 + 3 * (-2) = -1

Mà vế phải của phương trình cũng = -1

Ta suy ra vế trái bằng với vế phải.

Vậy cặp số (5, -2) cũng là 1 nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn trên (đpcm).

 

3. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn

Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình là tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Hai phương trình tương đương nhau:

Hai Phương trình bậc nhất 2 ẩn có cùng 1 tập nghiệm hay có tập nghiệm giống nhau thì ta nói đó là hai phương trình bậc nhất 2 ẩn tương đương nhau.

Lưu ý:

• Khi ta viết cặp nghiệm (x1, y1) của phương trình bậc nhất 2 ẩn thì ta luôn hiểu rằng x = x1 và y = y1.
• Mỗi 1 nghiệm của phương trình đều được biểu diễn bởi 1 điểm, nghiệm (x1, y1) của phương trình bậc nhất 2 ẩn sẽ được biểu diễn bởi 1 điểm ở trên toạ độ có trục hoành là giá trị của x1 và trục tung là giá trị của y1.
• Mỗi 1 phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số cặp nghiệm.

4. Các phép biến đổi phương trình bậc nhất 2 ẩn

4.1. Quy tắc chuyển vế

Khi thực hiện chuyển vế ở trong 1 phương trình, ta chuyển 1 số hạng từ vế này sang vế kia và thực hiện đổi dấu của hạng tử đó.

 

4.2. Quy tắc nhân/ chia trong phương trình

Trong phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể thực hiện nhân hoặc chia cả hai vế cùng với 1 số bất kỳ khác 0.

5. Cách giải bài phương trình

Mỗi một phương trình bậc nhất hai ẩn ta đều có vô số nghiệm, mỗi 1 cặp nghiệm của phương trình được ta biểu diễn bởi 1 điểm. Tập hợp các nghiệm của phương trình bậc 1 hai ẩn được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là 1 đường thẳng.

Với phương trình bậc nhất hai ẩn a * x + b * y = c (2) với hệ số a hoặc b khác 0.

TH1: khi cả hệ số a và b đều khác 0

a * x + b * y = c

⬄ b * y = – a * x + c

⬄ y = -a/ b * x + c/ b

Với mỗi giá trị của ẩn x thì ta thu nhận được 1 giá trị của ẩn y tương đương.

Do đó phương trình bậc nhất 2 ẩn (2) có vô số nghiệm.

Vậy ta có nghiệm tổng quát của phương trình (2) thoả mãn :

x thuộc R và y = -a/ b * x + c/ b

Tập hợp nghiệm của phương trình trên được biểu diễn thành đường thẳng: y = -a/ b * x + c/ b.

TH2: với hệ số a = 0 và hệ số b khác 0

Ta thực hiện chia cả 2 vế của phương trình (2) cho hệ số b, có:

a * x + b * y = c

⬄ b * y = c

• Y = c/ b

Vậy nghiệm tổng quát của (2) thoả mãn:

X thuộc số thực R và y = c/ b

Như vậy tập hợp các nghiệm của phương trình trên được biểu diễn bởi đường thẳng y = c/ b song song hoặc trùng nhau với trục hoành Ox.

TH3: với hệ số a khác 0 và hệ số b = 0

Thực hiện phép chia cả hai vế cho hệ số a, ta có:

a * x + b * y = c

⬄ a * x = c

• X = c/ a

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất 2 ẩn (2) thoả mãn:

Hệ số y thuộc R và x = c/ a

Đường thẳng biểu diễn tập hợp nghiệm của phương trình với x = c/ a sẽ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung Oy.

6. Khoảng cách từ đường thẳng biểu diễn nghiệm đến gốc tọa độ O

Ta có đường thẳng (d) với phương trình: a * x + b * y = c giao nhau với hai trục tọa độ Ox và Oy tại 2 điểm A và B:

Hình vẽ mặt phẳng toạ độ minh hoạ

Ta có điểm A (0, c/ b) và điểm B (c/ a ; 0)

• OA = và đoạn OB =

Ta kẻ đường cao OH vuông góc với Ac và H thuộc đoạn AC.

Khi đó, ta có hệ thức liên hệ giữa các cạnh và đường cao ở trong tam giác vuông OAB là:

Như vậy, khoảng cách từ đường thẳng của phương trình a * x + b * y = c đến gốc tọa độ O là:

(đpcm).

II. Áp dụng giải bài 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2

Bây giờ, chúng ta hãy cùng vận dụng các kiến thức vừa được học để thực hiện giải bài tập 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2 nhé!

Đề bài

Tìm nghiệm của hai phương trình trên

Hướng dẫn giải bài

Câu a:

Ta xét cặp nghiệm (-2, 1), thay x = -2 và y = 1 và phương trình a 5 * x + 4 * y = 5 * (-2) + 4 * 1 = -10 + 4 = – 6.

Vậy -6 khác 8, suy ra cặp số (-2; 1) không phải là nghiệm của phương trình a.

Xét cặp nghiệm (0, 2), ta thay x = 0 và y = 2 và phương trình 5 * x + 4 * y = 8 thì được:

5 * 0 + 4 * 2 = 8. Vậy cặp số trên là nghiệm của phương trình a.

Với cặp số (-1, 0), ta thay hệ số x = -1 và y = 0 vào phương trình a, được:

5 * (-1) + 4 * 0 = -5, -5 khác 8 vậy cặp số trên không phải nghiệm của phương trình a.

Với cặp số (1,5; 3) ta thay x = 1,5 và hệ số y = 3 vào phương trình a, có:

5 * 1,5 + 4 * 3 = 7,5 + 12 = 19,5. Vậy 19,5 khác 8 => cặp số trên không là nghiệm của phương trình a.

Xét cặp số (4; -3) ta thay x = 4 và y = -3 vào phương trình a.

5 * 4 = 4 * (-3) = 20 – 12 = 8, vậy cặp số trên là nghiệm của phương trình a.

Vậy ta có cặp số (0, 2) và cặp (4, -3) là tập nghiệm của phương trình a.

 

Câu b:

Tương tự, thay lần lượt các cặp số như câu a vào phương trình 3 * x + 5 * y = -3 ta được:

Cặp (-2, 1), 3 * (-2) + 5 * 1 = -1 vậy – 1 khác 3, cặp số trên không là nghiệm của phương trình b.

Cặp số (0, 2), 3 * 0 + 5 * 2 = 10, 10 khác 3, vậy cặp số trên không là nghiệm của b

Xét cặp số (-1; 0), 3 * (-1) + 5 * 0 = -3, vậy cặp số trên là nghiệm của phương trình b.

Với cặp số (1,5; 3) ta được: 3 * 1,5 + 5 * 3 = 19,5 khác với -3, vậy cặp số trên không là nghiệm của phương trình b.

Với cặp (4, -3) ta thay vào b được: 3 * 4 + 5 * (-3) = -3, vậy cặp số trên là nghiệm của b.

Vậy phương trình b có hai cặp số (-1, 0) và (4, -3) là nghiệm.

III. Hướng dẫn giải các bài tập trang 7 sgk toán 9 tập 2

Ngoài bài 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2, ta cùng thực hiện giải các bài tập khác trang 7 để củng cố thêm kiến thức.

Bài 2 trang 7

Giải các phương trình để tìm nghiệm và biểu diễn tập nghiệm đó

 

Lời giải chi tiết:

Vậy phương trình a có nghiệm tổng quát là:

Đường thẳng để biểu diễn phương trình a là đường thẳng

Khi x = 2/ 3 thì y = 0 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm (2/ 3 ; 0).

Khi x = 0 thì y = -2 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm (0; -2).

Vậy đường thẳng y = 3x – 2 là đường thẳng đi qua điểm (2/ 3; 0) và (0; -2).

 

Vậy phương trình b có nghiệm tổng quát là (3 – 5y; y) (y ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình b là đường thẳng x + 5y = 3.

Khi y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (3; 0).

Khi x = 0 thì y = 3/ 5⇒ Đường thẳng đi qua điểm (0; 3/ 5).

Vậy đường thẳng x + 5y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 3/ 5).

 

Vậy phương trình c có nghiệm tổng quát là:

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình c là đường thẳng 4x – 3y = -1.

Khi x = 0 thì y = 1/ 3

Đường thẳng đi qua điểm (0; 1/ 3).

Khi y = 0 thì x = -1/ 4

Đường thẳng đi qua điểm (-1/ 4; 0).

Vậy đường thẳng 4x – 3y = -1 đi qua (0, 1/ 3) và (-1/ 4; 0)

Vậy phương trình d có nghiệm là:

Đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình d là đường thẳng x + 5y = 0.

Khi x = 0 thì y = 0 ⇒ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Khi x = 5 thì y = -1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (5; -1).

Vậy đường thẳng x + 5y = 0 đi qua gốc tọa độ và điểm (5; -1).

 

Phương trình e có nghiệm tổng quát là (-0,5; y) (y ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng x = -0,5 đi qua điểm (-0,5; 0) và song song với trục tung.

Phương trình f có nghiệm tổng quát là (x; 2,5) (x ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng y = 2,5 đi qua điểm (0; 2,5) và song song với trục hoành.

 

Kết luận

Như vậy, chúng ta đã đi ôn tập lại các kiến thức lý thuyết của phương trình bậc nhất 1 ẩn và thực hiện giải bài 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2 cùng các bài tập khác. Khối lượng kiến thức của phần này khá nhiều nhưng lại vô cùng dễ nhớ. Tuy nhiên, điều đó không đồng nghĩa với việc các bạn học sinh có thể lơ là bài học. Thay vào đó, các bạn cần luyện tập nhiều trong giải các bài tập để trở nên thành thạo và giải nhanh, giải đúng các bài, sau đó là áp dụng cho những bài toán nâng cao hơn.

Các bạn hãy truy cập vào website https://www.kienguru.vn/ để tham khảo thêm các dạng bài tập cũng như các kiến thức lý thuyết về nhiều môn học khác.

Chúc các bạn đạt nhiều thành tích cao trong học tập!