Mục lục
Giải toán 12 tích phân là kiến thức quan trọng, chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Bài viết dưới đây, Kiến Guru sẽ hướng dẫn các bạn các phương pháp giải bài tập toán 12 tích phân nhé.
Định nghĩa và tính chất của tích phân
Trước khi bước vào các phương pháp giải bài tập toán 12 bài tích phân, các em hãy cùng tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của tích phân, là những kiến thức cơ bản, làm nền tảng để giải các bài tập nhé.
Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Khi đó, hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) (hay còn gọi là tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x)).
Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) được ký hiệu là :
Vậy ta có : = F(b) – F(a) với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
Chúng ta thường sử dụng ký hiệu :
Như vậy ta có : 
Ví dụ 1 : Cho F(x) = là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên đoạn [2;3] nên tích phân từ 2 đến 3 của f(x) là F(3) – F(2) = -= 5.
Như vậy ta có :
Lưu ý : Biết rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(x)+C ( với C là một số thuộc R) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Như vậy, nếu ta sử dụng F(x)+C để thực hiện tính tích phân từ a đến b của hàm số f(x) thì sẽ không có gì khác bởi vì :
( F(b) + C ) – ( F(a) + C ) = F(b) + C – F(a) – C = F(b) – F(a)
Như vậy, trong giải toán 12 bài tích phân, khi tính tích phân của hàm số f(x), ta có thể sử dụng nguyên hàm là F(x) hoặc F(x)+C (CR). Tuy nhiên, để tránh sự phức tạp thì chúng ta thường sử dụng F(x) (trừ một số trường hợp đặc biệt).
Ví dụ 2 : Tính các tích phân sau :
Lưu ý : Một số quy ước thường được sử dụng như sau :
- = 0
- = –
Tính chất của tích phân
Trong giải bài tập toán 12 tích phân, chúng ta áp dụng tính chất của tích phân để làm bài nhanh chóng và chính xác. Dưới đây là 3 tính chất đặc biệt quan trọng các em cần ghi nhớ.
Tính chất 1 : Với k là hằng số thì ta có tính chất như sau :
=
Với công thức trên, ta có thể hiểu rằng có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.
Ví dụ 3 : 
Tính chất 2 : Chúng ta thực hiện tách tích phân từ a đến b của một tổng hay một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.
=
Ví dụ 4 : = +
= +
Tính chất 3 : Với một số c nằm giữa đoạn a và b, ta có thể tách tích phân từ a đến b thành tổng hai tích phân từ a đến c và từ c đến b.
= + ( trong đó a<c<b)
Tính chất này thường được sử dụng trong các bài giải toán 12 tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 5 : Tính tích phân của I =
Bài làm : Ta có bảng xét dấu của (x-1) trên đoạn [0;3] như sau :
| x | 0 1 3 |
|---|---|
| x-1 | – 0 + |
Ta thấy trên đoạn [0;1] thì x-1 0 nên = 1- x
Và trên đoạn [1;3] thì x-1 0 nên = x-1
Như vậy ta có :
I = = +
= +
=
Lưu ý : Đối với ví dụ 4, ta có thể không cần quan tâm đến dấu của hàm số (x-1) mà chỉ cần đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân là được. Theo cách này, ta sẽ giải bài như sau:
I = = +
= +
= + =
Các phương pháp giải bài tập toán 12 tích phân
Trên đây, các em đã được học về định nghĩa và tính chất trong giải toán 12 bài tích phân, và tiếp sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các phương pháp giải bài tập toán 12 tích phân nhé.
Chúng ta có 2 phương pháp chính đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần. Đối với phương pháp đổi biến số, ta có thể chia thành 2 loại như sau :
Loại 1 : Đặt t = u(x)
Loại 2 : Đặt x = u(t)
Phương pháp đổi biến số loại 1
Bài toán : Hãy tính tích phân sau : I =
Phương pháp giải :
Đặt t = u(x) dt = u’(x)dx
Ta thực hiện đổi cận :
I =
Ví dụ 6 : Tính các tích phân sau :
- I =
Bài giải : Ta có :
I = = =
Đặt t = dt = 2xdx
Ta có bảng đổi cận :
I = =
= (
- J =
Bài giải : Đặt t = = = -1 xdx = tdt
Ta có bảng đổi cận :
J = = =
= =
=
Một số bài tập áp dụng khác :
- K =
- G =
- H =
- F =
- M =
Phương pháp đổi biến số loại 2
Trong nhiều bài giải toán 12 tích phân, ta sẽ đổi biến bằng cách đặt x = u(t) để chuyển đổi biến x về biến t. Dưới đây là một số dạng toán thường gặp ta sẽ áp dụng phương pháp này.
- Hàm số có chứa biểu thức , thì ta đặt x = (t) hoặc ta đặt x = (với 0t)
- Hàm số có chứa biểu thức , thì ta đặt x = (vớit; t0) hoặc ta đặt x = (với 0t; t )
- Hàm số có chứa biểu thức , thì ta đặt x = (vớit), hoặc ta đặt x = (với 0t)
Ví dụ 7 : Tính tích phân sau :
I =
Bài giải : Đặt x = 2sint (t)
dx = 2cos(t)dt
Ta có bảng đổi cận :
I = = =
= = =
=
Phương pháp tính tích phân từng phần
Đây cũng là một trong những phương pháp được áp dụng nhiều để giải bài tập toán 12 bài tích phân, chúng ta xem ngay công thức sau đây:
Cho u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì ta có:
Ví dụ 8 : Tính tích phân sau :
I =
Bài giải :
Từ đó ta có :
Cách giải bài tập toán 12 tích phân – Các bài toán chọn lọc
Bài toán 1 : Tính giá trị các tích phân dựa vào định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.
Bài tập : Tính các tích phân sau :
- I =
Bài giải : Ta có = ( =
Khi đó : I =
=
- I =
Bài giải : Ta đặt 
từ đó ta có : 
I =
= e – 2
- I =
Bài giải : Đặt u = = udu = xdx
Ta đổi cận : nếu x = 0 thì u = 1
nếu x = thì u = 2
Giải toán 12 tích phân: Các bài toán chọn lọc
Giải toán 12 tích phân là kiến thức quan trọng, chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Bài viết dưới đây, Kiến Guru sẽ hướng dẫn các bạn các phương pháp giải bài tập toán 12 tích phân nhé.
Định nghĩa và tính chất của tích phân
Trước khi bước vào các phương pháp giải bài tập toán 12 bài tích phân, các em hãy cùng tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của tích phân, là những kiến thức cơ bản, làm nền tảng để giải các bài tập nhé.
Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Khi đó, hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) (hay còn gọi là tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x)).
Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) được ký hiệu là :
Vậy ta có : = F(b) – F(a) với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
Chúng ta thường sử dụng ký hiệu :
Như vậy ta có : 
Ví dụ 1 : Cho F(x) = là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên đoạn [2;3] nên tích phân từ 2 đến 3 của f(x) là F(3) – F(2) = -= 5.
Như vậy ta có :
Lưu ý : Biết rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(x)+C ( với C là một số thuộc R) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Như vậy, nếu ta sử dụng F(x)+C để thực hiện tính tích phân từ a đến b của hàm số f(x) thì sẽ không có gì khác bởi vì :
( F(b) + C ) – ( F(a) + C ) = F(b) + C – F(a) – C = F(b) – F(a)
Như vậy, trong giải toán 12 bài tích phân, khi tính tích phân của hàm số f(x), ta có thể sử dụng nguyên hàm là F(x) hoặc F(x)+C (CR). Tuy nhiên, để tránh sự phức tạp thì chúng ta thường sử dụng F(x) (trừ một số trường hợp đặc biệt).
Ví dụ 2 : Tính các tích phân sau :
Lưu ý : Một số quy ước thường được sử dụng như sau :
- = 0
- = –
Tính chất của tích phân
Trong giải bài tập toán 12 tích phân, chúng ta áp dụng tính chất của tích phân để làm bài nhanh chóng và chính xác. Dưới đây là 3 tính chất đặc biệt quan trọng các em cần ghi nhớ.
Tính chất 1 : Với k là hằng số thì ta có tính chất như sau :
=
Với công thức trên, ta có thể hiểu rằng có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.
Ví dụ 3 : 
Tính chất 2 : Chúng ta thực hiện tách tích phân từ a đến b của một tổng hay một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.
=
Ví dụ 4 : = +
= +
Tính chất 3 : Với một số c nằm giữa đoạn a và b, ta có thể tách tích phân từ a đến b thành tổng hai tích phân từ a đến c và từ c đến b.
= + ( trong đó a<c<b)
Tính chất này thường được sử dụng trong các bài giải toán 12 tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 5 : Tính tích phân của I =
Bài làm : Ta có bảng xét dấu của (x-1) trên đoạn [0;3] như sau :
| x | 0 1 3 |
|---|---|
| x-1 | – 0 + |
Ta thấy trên đoạn [0;1] thì x-1 0 nên = 1- x
Và trên đoạn [1;3] thì x-1 0 nên = x-1
Như vậy ta có :
I = = +
= +
=
Lưu ý : Đối với ví dụ 4, ta có thể không cần quan tâm đến dấu của hàm số (x-1) mà chỉ cần đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân là được. Theo cách này, ta sẽ giải bài như sau:
I = = +
= +
= + =
Các phương pháp giải bài tập toán 12 tích phân
Trên đây, các em đã được học về định nghĩa và tính chất trong giải toán 12 bài tích phân, và tiếp sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các phương pháp giải bài tập toán 12 tích phân nhé.
Chúng ta có 2 phương pháp chính đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần. Đối với phương pháp đổi biến số, ta có thể chia thành 2 loại như sau :
Loại 1 : Đặt t = u(x)
Loại 2 : Đặt x = u(t)
Phương pháp đổi biến số loại 1
Bài toán : Hãy tính tích phân sau : I =
Phương pháp giải :
Đặt t = u(x) dt = u’(x)dx
Ta thực hiện đổi cận :
I =
Ví dụ 6 : Tính các tích phân sau :
- I =
Bài giải : Ta có :
I = = =
Đặt t = dt = 2xdx
Ta có bảng đổi cận :
I = =
= (
- J =
Bài giải : Đặt t = = = -1 xdx = tdt
Ta có bảng đổi cận :
J = = =
= =
=
Một số bài tập áp dụng khác :
- K =
- G =
- H =
- F =
- M =
Phương pháp đổi biến số loại 2
Trong nhiều bài giải toán 12 tích phân, ta sẽ đổi biến bằng cách đặt x = u(t) để chuyển đổi biến x về biến t. Dưới đây là một số dạng toán thường gặp ta sẽ áp dụng phương pháp này.
- Hàm số có chứa biểu thức , thì ta đặt x = (t) hoặc ta đặt x = (với 0t)
- Hàm số có chứa biểu thức , thì ta đặt x = (vớit; t0) hoặc ta đặt x = (với 0t; t )
- Hàm số có chứa biểu thức , thì ta đặt x = (vớit), hoặc ta đặt x = (với 0t)
Ví dụ 7 : Tính tích phân sau :
I =
Bài giải : Đặt x = 2sint (t)
dx = 2cos(t)dt
Ta có bảng đổi cận :
I = = =
= = =
=
Phương pháp tính tích phân từng phần
Đây cũng là một trong những phương pháp được áp dụng nhiều để giải bài tập toán 12 bài tích phân, chúng ta xem ngay công thức sau đây:
Cho u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì ta có:
Ví dụ 8 : Tính tích phân sau :
I =
Bài giải :
Từ đó ta có :
Cách giải bài tập toán 12 tích phân – Các bài toán chọn lọc
Bài toán 1 : Tính giá trị các tích phân dựa vào định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.
Bài tập : Tính các tích phân sau :
- I =
Bài giải : Ta có = ( =
Khi đó : I =
=
- I =
Bài giải : Ta đặt 
từ đó ta có : 
I =
= e – 2
- I =
Bài giải : Đặt u = = udu = xdx
Ta đổi cận : nếu x = 0 thì u = 1
nếu x = thì u = 2
Khi đó ta có :
I = =
=
- I =
Bài giải : Nếu sin2 0
Nếu sin2 0
Khi đó ta có :
I = = –
= (- 1 – 0) +(0 + 1) = 1
Bài toán 2 : Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng
Bài tập : Tính diện tích S của của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và
y = -2x-4.
Bài giải : Phương trình hoành độ giao điểm của y = và y = – 2x – 4 là :
= – 2x – 4 + 2x + 4 = 0
Khi đó, ta có :
S = =
= 9
Trên đây, Kiến Guru đã giới thiệu đến các em kiến thức về giải toán 12 tích phân, hy vọng rằng các em sẽ nắm chắc kiến thức, trở thành hành trang để hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia. Hãy theo dõi các bài học tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu, kiến thức bổ ích nữa nhé.
Khi đó ta có :
I = =
=
- I =
Bài giải : Nếu sin2 0
Nếu sin2 0
Khi đó ta có :
I = = –
= (- 1 – 0) +(0 + 1) = 1
Bài toán 2 : Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng
Bài tập : Tính diện tích S của của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và
y = -2x-4.
Bài giải : Phương trình hoành độ giao điểm của y = và y = – 2x – 4 là :
= – 2x – 4 + 2x + 4 = 0
Khi đó, ta có :
S = =
= 9
Trên đây, Kiến Guru đã giới thiệu đến các em kiến thức về giải toán 12 tích phân, hy vọng rằng các em sẽ nắm chắc kiến thức, trở thành hành trang để hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia. Hãy theo dõi các bài học tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu, kiến thức bổ ích nữa nhé.
