Giải đáp bài 7 trang 143 sgk toán 11 – Cụ thể và Ngắn gọn

Chương IV môn toán 11 có rất nhiều kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh cần ghi nhớ. Trong bài viết dưới đây, chúng tôi đã hệ thống lại kiến thức về Giới hạn cũng như phương pháp để giải bài tập liên quan và hướng dẫn giải cụ thể bài 7 trang 143 sgk toán 11. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.

I. Hệ thống kiến thức trong giải bài 7 trang 143 sgk toán 11 Đại số

Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì

Định nghĩa 1

Ta sẽ nói dãy số (un) sẽ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu như |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý và kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:

hay là un → 0 khi mà n → +∞.

Định nghĩa 2

Ta sẽ nói dãy số (vn) có giới hạn chính là a (hay vn dần tới a) khi mà n → +∞ nếu như:  

Kí hiệu:

hay là vn → a khi mà n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a)   với điều kiện k nguyên dương;

b)   nếu như |q| < 1;

c) Nếu như un = c (c chính là hằng số) thì 

Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

1. Nếu như lim un = a và lim vn = b thì ta có:

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là gì:

Cấp số nhân vô hạn (un) sẽ có công bội q, với |q| < 1 sẽ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có:

4. Giới hạn vô cực là gì

4.1 Định nghĩa

Ta sẽ nói dãy số (un) có giới hạn chính là +∞ khi n → +∞, nếu như un có thể lớn hơn một số dương bất kì và kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu là: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

Dãy số (un) sẽ có giới hạn chính là –∞ khi mà n → +∞, nếu như lim (–un) = +∞.

Kí hiệu là: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

4.2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta sẽ thừa nhận các kết quả sau đây:

a) lim nk = +∞ với điều kiện k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu như q > 1.

Định lí 2

a) Nếu như lim un = a và lim vn = ±∞ thì có:

b) Nếu như lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì ta có:

5. Giới hạn của hàm số

Định nghĩa 1

Cho khoảng K sẽ chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định ở trên K hoặc là trên K \ {x0}.

Ta sẽ nói hàm số y = f(x) có giới hạn chính là số L khi x dần tới x0 nếu như với dãy số (xn) bất kì, với xn ∈ K \{x0} và xn → x0, ta sẽ có f(xn) → L.

Kí hiệu là :   hay là f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét là:   với c chính là hằng số.

Định lí 1

Định nghĩa 2

Cho hàm số y = f(x) được xác định ở trên (x0; b).

Số L được gọi chính là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi mà x → x0 nếu như với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta sẽ có f(xn) → L.

Kí hiệu là: 

Cho hàm số y = f(x) được xác định ở trên (a; x0).

Số L sẽ được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi có x → x0 nếu như với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta sẽ có f(xn) → L.

Kí hiệu là: 

Định lí 2

6. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực là gì:

a) Cho hàm số y = f(x) được xác định ở trên (a; +∞).

Ta sẽ nói hàm số y = f(x) có giới hạn chính là số L khi mà x → +∞ nếu như với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta sẽ có f(xn) → L.

Kí hiệu là: 

b) Cho hàm số y = f(x) được xác định ở trên (–∞; a).

Ta sẽ nói hàm số y = f(x) có giới hạn chính là số L khi mà x → –∞ nếu như với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta sẽ có f(xn) → L.

Kí hiệu là: 

7. Giới hạn vô cực của hàm số

7.1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên (a; +∞).

Ta sẽ nói hàm số y = f(x) có giới hạn chính là –∞ khi x → +∞ nếu như với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta sẽ có f(xn) → –∞

7.2. Một vài giới hạn đặc biệt là:

7.3. Một số những quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc để tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

L > 0	+∞	+∞
	–∞	–∞
L < 0	+∞	–∞
	–∞	+∞

b) Quy tắc để tìm giới hạn của thương

		Dấu của g(x)
L	± ∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+∞	+∞
		–∞	–∞
L < 0		+∞	–∞
		–∞	+∞

8. Hàm số sẽ liên tục tại một điểm

8.1. Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) được xác định ở trên khoảng K và x0 ∈ K.

Hàm số y = f(x) sẽ được gọi là liên tục tại x0 nếu như

8.2. Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) sẽ được gọi là liên tục ở trên một khoảng nếu như nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) sẽ được gọi là liên tục ở trên đoạn [a; b] nếu như nó liên tục trên khoảng (a; b) và

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục ở trên một khoảng chính là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số sẽ liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục ở trên khoảng (a; b).

II. Hỗ trợ giải bài 7 trang 143 sgk toán 11

Chúng ta hãy cùng vận dụng những lý thuyết trên để giải bài 7 trang 143 sgk toán 11 – bài tập điển hình nhất nhé!

Đề bài

Xét tính liên tục ở trên R của hàm số:

Kiến thức áp dụng

Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu như  

Hàm đa thức sẽ liên tục trên R, hàm phân thức liên tục ở trên từng khoảng xác định của chúng.

Hướng dẫn giải

Suy ra g(x) liên tục tại 2.

Vậy hàm số g(x) liên tục ở trên R.

III. Gợi ý lời giải các bài tập trang 143 sgk toán 11

Sau khi đã hoàn thành giải đáp bài 7 trang 143 sgk toán 11, các bạn học sinh hãy tham khảo những bài tập tương tự trang 143 để thật chắc tay hơn nhé!

1. Bài 8 trang 143

Hãy chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm ở trong khoảng (-2; 5)

Hướng dẫn giải:

Ta đặt f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2

f(x) chính là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta sẽ có: f(0) = –2 < 0

có f(1) = 1 > 0

có f(2) = -8 < 0

có f(3) = 13 > 0

Suy ra f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0 và f(2).f(3) < 0

⇒ Phương trình f(x) = 0 sẽ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2) và 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

⇒ f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay là f(x) = 0 sẽ có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

2. Bài 9 trang 143

Mệnh đề nào sau đây sẽ là mệnh đề đúng?

A.Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc là luôn luôn giảm.

B.Nếu như (u_n) là dãy số tăng thì lim u_n = + ∞ .

C.Nếu như lim u_n = + ∞ và lim v_n = + ∞ thì lim (u_n – v_n) = 0

D.Nếu như u_n = aⁿ và – 1 < a < 0 thì lim u_n = 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án là D.

3. Bài 10 trang 143:

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án là B.

4. Bài 11 trang 143

Ta cho dãy số (u_n) với:

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A)  ;

(B) limu_n = -∞;

(C) limu_n = +∞;

(D) Dãy số u_n không có giới hạn khi mà x → +∞;

Hướng dẫn giải:

Ta sẽ có (u_n) chính là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu sẽ là u₁ = √2 và công bội q = √2 nên:

Chọn đáp án là C.

Trên đây là những hướng dẫn của chúng tôi về bài 7 trang 143 sgk toán 11. Các bạn cần củng cố lại các lý thuyết cần ghi nhớ cũng như phương pháp giải bài tập để có thể hiểu bài và áp dụng vào các bài tập. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp các bạn đạt được điểm số cao trong môn giải tích 11.

Nếu các bạn còn vấn đề gì thắc mắc, vui lòng truy cập vào kienguru.vn để có được những giải đáp kịp thời nhất.

Hãy để Kiến Guru đồng hành cùng các bạn trên con đường học tập!