Mục lục
Phần lý thuyết về tỉ số lượng giác của góc nhọn nằm trong chương trình giảng dạy kiến thức hình học của cấp trung học cơ sở, giúp các bạn học sinh hiểu hơn về các góc của một tam giác vuông có những tính chất, cách giải các dạng bài tập như thế nào để vận dụng vào bài tập trên lớp cũng như thực hành được trong cuộc sống.
Kiến thức lý thuyết tổng quan về Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong một tam giác vuông
- Định nghĩa: Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số về các cạnh của góc nhọn xuất hiện ở trong tam giác vuông.
Tam giác vuông ABC minh hoạ
Ví dụ có tam giác ABC vuông tại A, góc nhọn C được ký hiệu kà góc an pha .
Thì ta có Sin C = cạnh đối trên cạnh huyền ( )
Cos C = Cạnh kề trên cạnh huyền ( )
Tan C = cạnh đối trên cạnh kề ( )
Cot C = cạnh kề trên cạnh đối ( )
- Tính chất của tỉ số lượng giác 2 góc nhọn
Tính chất 1: nếu hai góc B và C phụ nhau thì sin của góc này sẽ bằng cos của góc kia, hay tan góc này sẽ bằng cot của góc kia.
Nghĩa là hai góc B và C có góc B + góc C = 90
Khi đó: Sin B = cos C; cos B = Sin C; tan B = cot C, cot B = tan C
Tính chất 2: Nếu hai góc nhọn có hệ số Sin B = sin C và cos B = cos C thì ta nói hai góc nhọn B, C bằng nhau.
Tính chất 3: Nếu B là một góc nhọn bất kỳ thì:
0 < sin C < 1; 0 < cos C < 1, tan C > 0, cot C > 0
Góc C theo ký hiệu ở trên hình vẽ là góc , vậy ta có các công thức sau:
Tỉ số lượng giác đặc biệt của các góc
- Các dạng bài tập thường thấy
Dạng 1: tính cạnh, tính góc, tính tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cách giải: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn (như trên), định lý thuận, đảo của Pytago, hệ thức lượng ở trong một tam giác vuông)
- Áp dụng định lý pytago
Định lý Pytago thuận: Ở trong một tam giác vuông, ta có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh kề góc vuông).
Ví dụ ta có tam giác ABC vuông tại A. thì cạnh huyền = + , suy ra hai cạnh góc vuông bằng hiệu của bình phương cạnh huyền trừ đi cạnh góc vuông còn lại = –
= –
Định lý Pytago đảo: Nếu trong một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì ta nói đó là tam giác vuông.
Dạng 2: So sánh tỉ số lượng giác của các góc với nhau
Cách giải:
Bước 1: Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất 1, hai góc phụ nhau thì sin của góc này sẽ bằng cos của góc kia và tan góc này sẽ bằng cot của góc kia)
Bước 2 theo công thức trên
Dạng 3: rút gọn, tính giá trị của biểu thức lượng giác của góc nhọn
Cách giải:
Ta sử dụng kiến thức nếu là một góc nhọn bất kỳ trong tam giác, thì ta có:
Sử dụng tính chất 2 góc phụ nhau (Tính chất 1)
Các lý thuyết khác
Đổi đơn vị đo độ dài cm, dm, m
1 dm = 10 cm = 0,1 m
1 m = 10 dm = 100 cm
1 cm = 0,1 dm = 0,01 m
Phần bài tập luyện tập
Bài 11 trang 76 sách giáo khoa toán 9 tập 1
Đề bài: Tính tỉ số lượng giác góc B để tìm tỉ số lượng giác của góc A.
Hướng dẫn giải chi tiết
Hình vẽ minh hoạ tam giác ABC vuông tại C
Ta thực hiện đổi đơn vị đo độ dài của hai cạnh AC và BC về đơn vị dm.
0,9 m = 9 dm; 1,2 m = 12 dm
Ta có tam giác ABC vuông tại C, theo định lý thuận của định lý Pytago:
= +
- = + = 225
- = = 15 dm
Vậy ta có các tỉ số của góc B lần lượt là:
Sin B = = =
Côsin B = = =
Tang B = = =
Cotang B = = =
Áp dụng công thức về định nghĩa tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong một tam giác vuông.
Mà ta có góc B + góc A = 90 (vì tam giác ABC vuông tại C, góc C = 90, hai góc B và C bù cho nhau)
Vì vậy hai góc B và A là hai góc phụ nhau, ta có :
Sin góc A = cosin góc B =
Cosin góc A = sin góc B =
Tang góc A = cotang góc B =
Cotang góc A = tang góc B =
Vậy ta tính được tỉ số lượng giác của góc B và từ đó suy luận ra được tỉ số lượng giác của góc A trong tam giác ABC vuông.
Bài 2 trang 71 sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1
Đề bài: Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A. có góc B = . Hãy chứng minh các điều sau:
Điều cần phải chứng minh
Hướng dẫn giải chi tiết:
Câu a,
Hình vẽ minh hoạ câu a
Xét theo đề bài cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Suy ra: góc BCA = 45
Vì vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A (hai góc B và C có số đo bằng nhau)
Suy ra hai cạnh AB = cạnh AC (vì ABC là tam giác vuông cân, theo tính chất của tam giác cân thì 2 cạnh kề đỉnh sẽ có số đo bằng nhau)
Suy ra: = 1 ( đpcm ).
Câu b,
Hình vẽ minh hoạ chứng minh câu b
Theo đề bài ta có tam giác ABC vuông tại đỉnh A.
Lấy trung điểm của cạnh huyền BC là điểm D, kẻ đường thẳng AD là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC.
Suy ra: cạnh BD = cạnh AD = (1)
Xét tam giác ABD như hình trên, ta có:
Cạnh BD = cạnh AD (chứng minh ở trên)
Góc ABD = = 60
Vì vậy ta nói tam giác ABD là tam giác đều
Suy ra: cạnh AB = cạnh AD (2)
Từ điều (1) và điều (2) ta có được: cạnh AB = cạnh BD = => Cạnh BC = 2AB
Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng công thức định lý thuận của định lý Pytago, ta có:
Điều phải chứng minh
Kết luận: Như vậy là chúng ta đã ôn luyện sơ lược qua các kiến thức lý thuyết về tỉ số lượng giác trong góc nhọn của một tam giác vuông, đồng thời đó ôn luyện thêm các kiến thức lý thuyết liên quan về định lý thuận, định lý đảo của định lý Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức lượng ở trong một tam giác vuông, cách đổi đơn vị đo,…. Bài 11 trang 76 sách giáo khoa toán 9 tập 1 nhằm giúp các bạn học sinh nhớ lại các công thức cần phải nhớ để thực hiện giải toán.
Ngoài ra, để củng cố thêm kiến thức lý thuyết và thực hành thành thạo, nhanh gọn các dạng bài tập, chúng tôi đã luyện giải hai bài toán về tỉ số lượng giác của góc nhọn ở 2 bài trên. Các bạn học sinh có thể tham khảo, luyện tập thêm nhiều bài khác để các kỹ năng làm bài của mình được cải thiện hơn.
