Mục lục
Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn là bài lý thuyết dạng hình học, nằm trong chương trình giảng dạy của hình học lớp 9, nhằm cung cấp các kiến thức về đường tròn, tính chất của đường tròn có tính đối xứng là như thế nào? Cùng các bài tập luyện tập để củng cố thêm kiến thức lý thuyết, điển hình là bài 1 trang 99 sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1.
Lý thuyết về “Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn”.
Sự xác định đường tròn
- Định nghĩa: Đường tròn có tâm O với bán kính là R được ký hiệu là (O; R), là hình tròn gồm vô số điểm cách tâm O một khoảng cách bằng bán kính R.
Đường tròn tâm O bán kính R
Nếu điểm A nằm trên đường tròn tâm O bán kính R thì ta có đoạn thẳng OA = R.
Nếu điểm A nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính R thì đoạn thẳng OA < R.
Nếu điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R thì đoạn thẳng OA > R.
- Định lý sự xác định đường tròn
Vẽ hình tròn tâm O từ 3 điểm không thẳng hàng
Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng với nhau, ta chỉ vẽ được 1 và chỉ 1 đường tròn tâm O duy nhất. Tâm O của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC trong đường tròn tâm O.
- Tính chất đối xứng của đường tròn tâm O
a, Tâm đối xứng
Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của đường tròn đối xứng với chính đường tròn đó.
b, Trục đối xứng đường tròn
Bất kỳ một đường tròn nào đều có trục đối xứng là các đường kính của chính đường tròn đó.
Lưu ý: Ở trong một tam giác vuông, trung điểm của một cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp (đỉnh tam giác nằm bên trong đường tròn ta gọi đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông)
Ở trong tam giác đều, trọng tâm của tam giác đều chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
- Các dạng toán thường gặp trong bài
Dạng 1: Chứng minh các điểm đã được cho sẵn đều cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải: Chứng minh các điểm đã được cho trước đều cách đều một điểm là tâm của đường tròn.
Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của một điểm với đường tròn
Phương pháp giải:
Ta chứng minh theo định nghĩa của “Sự xác định đường tròn”, so sánh khoảng cách của M với bán kính R của đường tròn tâm O.
So sánh theo bảng sau
Dạng 3: Tìm tâm, tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức của các định lý, tính chất sau:
- Dùng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông đường trung tuyến nó ứng với một nửa cạnh huyền, hoặc nói đường trung tuyến của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông đó.
- Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông
Định lý Pytago thuận: Ở trong một tam giác vuông, ta có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh kề góc vuông).
Ví dụ ta có tam giác ABC vuông tại A. thì cạnh huyền = + , suy ra hai cạnh góc vuông bằng hiệu của bình phương cạnh huyền trừ đi cạnh góc vuông còn lại = –
= –
Định lý Pytago đảo: Nếu trong một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì ta nói đó là tam giác vuông.
- Sử dụng hệ thức lượng về cạnh và góc ở trong một tam giác vuông
Hệ thức về cạnh và đường cao
Định nghĩa tỉ số lượng các cạnh trong tam giác vuông của hai góc nhọn
Tính chất của các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Hệ thức, công thức về cạnh và góc trong một tam giác vuông
Phần bài tập luyện tập
Bài 1 trang 99 sách giáo khoa toán 9 tập 1
Tính bán kính của đường tròn
Hướng dẫn giải chi tiết:
Hình minh hoạ bài 1 trang 99
Ta gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD. Theo tính chất của hình chữ nhật, ta có:
OA = OB = OC = OD
Do vậy cả 4 điểm A, B, C, D đều cùng cách điểm O một khoảng cố định là đoạn thẳng OB. Nên ta khẳng định 4 điểm A, B, C, D đều cùng thuộc một đường tròn có tâm là O bán kính R = OB
Mặt khác ta có tam giác ABC vuông tại điểm B, theo đề bài ta có:
AB = 12 cm
BC = 5 cm
Áp dụng công thức tính của định lý Pytago ta có:
= + = + = 169
Cạnh AC là căn bậc 2 của 169 = 13 cm.
Mà theo tính chất của đường chéo hình chữ nhật, ta có:
OA = AC = 13 = = 6,5 (cm)
Vậy đường tròn tâm O đi qua 4 điểm A, B, C, D có bán kính R = OA = 6,5 cm.
Bài 2
Chứng minh một điểm thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải chi tiết
Hình vẽ minh hoạ
Do điểm C và điểm C’ đối xứng với nhau qua bán kính AB nên bán kính AB là đường trung trực của đoạn thẳng CC’.
Suy ra tâm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CC’
Suy ra OC = OC’ = bán kính R.
Vậy điểm C’ cũng thuộc đường tròn tâm O.
Bài 3 trang 100 sách giáo khoa lớp 9 tập 1
Chứng minh các định lý sau đây:
Câu a, Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Câu b, Một tam giác có một cạnh là đường kính của một đường tròn ngoại tiếp thì ta nói tam giác đó là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Hình vẽ minh hoạ chứng minh câu a và b
Câu a, Ta đặt tam giác vuông là ABC vuông tại A, điểm O là trung điểm của cạnh huyền BC.
Ta có đoạn thẳng OA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên OA = OB = OC .
Suy ra điểm O là tâm của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
Vậy ta chứng minh được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
Câu b, Ta có tam giác ABC là tam giác nội tiếp của đường tròn tâm O đường kính là cạnh BC, do đó: đoạn thẳng OA = OB = OC.
Mặt khác tam giác ABC có đường trung tuyến của đoạn AO bằng một nửa cạnh BC, vậy nên tam ta khẳng định tam giác ABC vuông tại A (đpcm).
Bài 1 trang 98 và hình vẽ đề bài minh hoạ
Hướng dẫn giải chi tiết:
Đường tròn tâm O có bán kính ta gọi là R
Đề bài cho điểm H nằm ở bên ngoài đường tròn tâm O, điểm K nằm bên trong đường tròn tâm O, vậy nên ta có:
Đoạn thẳng OK bé hơn bán kính R, bán kính R bé hơn đoạn OH. Vậy suy ra đoạn thẳng OK bé hơn đoạn thẳng OH.
Xét tam giác OKH ta có:
OH > OK
Suy ra: Góc OHK < góc OKH (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn).
Kết luận: Trên đây Bài 1 trang 99 sách giáo khoa toán 9 tập 1 là toàn bộ các kiến thức cơ bản về “Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn”. Các bạn học sinh cần phải nắm vững các kiến thức lý thuyết cơ bản trên để thực hành luyện giải các bài toán về đường tròn, đồng thời đó phải áp dụng lý thuyết của các kiến thức hình học khác để tìm ra cách giải nhanh và phù hợp nhất.
