Mục lục
Giải toán 12 bài nguyên hàm chi tiết nhất do đội ngũ giáo viên dạy toán rất giàu kinh nghiệm biên soạn. Bài viết này với nội dung đảm bảo tính chính xác cao và dễ hiểu sẽ giúp các em học sinh nắm bắt nhanh chóng các kiến thức trọng tâm và giải bài tập toán 12 nguyên hàm được dễ dàng hiểu bài hơn trong quá trình học.
Mời các em xem thêm để học tốt hơn!
1. Lý thuyết và công thức dùng trong Giải toán 12 bài nguyên hàm
Lý thuyết
Cho hàm số f (x) được xác định trên K (K sẽ là khoảng hay là nửa khoảng). Hàm F (x) được cho là một nguyên hàm của hàm f (x) ở trên K nếu F ‘(x) = f (x) với mọi x ∈ K.
Công thức
1) Nếu F (x) là một nguyên hàm của một hàm f (x) trên K, thì với mỗi hằng số của C, thì hàm G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) ở trên K .
2) Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) nằm trên K, thì mọi nguyên hàm của f (x) ở trên K đều có dạng F (x) + C, trong đó có C là hằng số.
Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) ở trên K. Kí hiệu ∫f (x) dx sẽ = F (x) + C.
Giải toán 12 bài nguyên hàm giúp các em củng cố kiến thức tốt hơn
2. Hỗ trợ Giải toán 12 bài nguyên hàm sgk
Dưới đây, Kiến Guru sẽ hỗ trợ các em giải bài tập toán 12 bài nguyên hàm được biên soạn đúng chuẩn giúp các em dễ hiểu nắm vững kỹ năng và kiến thức trong giải toán 12 bài nguyên hàm. Cùng đến với bài giải toán 12 ngay thôi nào.
2.1 Bài 1 trang 100
Cặp hàm nào sau đây sẽ là nguyên hàm của hàm còn lại?
- e- x ‘ và -e-x ‘;
- sin 2x và sin ^2x;
- (1-2/x)^2.e^x và (1-4/x).e^x
Cách giải
a) Ta có là: (-e-x) ‘= -e-x. (- x) ‘= e-x
—> -e^-x sẽ là một nguyên hàm của hàm e^-x
Ta lại có: ( e^-x) ‘ = e^-x.(-X) ‘ = e^-x
Suy ra, là e^-x
Vì vậy, e-x là một nguyên hàm của hàm -e-x.
Vậy
b) (sin2x) ‘= 2.sinx. (sinx) ‘= 2.sinx.cosx = sin2x
⇒ sin2x sẽ là một nguyên hàm của hàm số.
là một trong những nguyên hàm của một hàm số
Kiến thức cần ứng dụng
- F (x) sẽ được cho là một nguyên hàm của hàm f (x) nằm trên K nếu:
f ‘(x) = F (x)
- Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) ở trên K, thì mọi hàm sẽ có dạng F (x)
- C (C sẽ là hằng số bất kỳ) đều là một nguyên hàm của một hàm f (x).
Được kí hiệu: 
Giải toán 12 bài nguyên hàm các công thức cần áp dụng để giải bài tập
2.2 Bài 2 trang 100
Tìm nguyên hàm của các hàm số như sau:
Cách giải
Giải toán 12 bài nguyên hàm giúp các em rèn luyện nâng cao kiến thức
2.3 Bài 3 trang 101
Sử dụng phương pháp của biến đổi, hãy tính:
Cách giải
a) Cho u = 1 – x u ‘(x) = -1⇒ du = -dx hoặc là dx = – du
Thay u = 1 – x vào ta được kết quả như sau:
b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u ‘= 2x ⇒ du = 2x.dx
Thay u = 1+ x2 vào, ta sẽ được kết quả:
Thay lại u = 1+ x2 cho vào kết quả ta sẽ được:
c) Đặt cho u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx
Thay lại u = cos x vào kết quả ta sẽ được:
d) Ta sẽ có:
2.4 Bài 4 trang 101
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của từng phần, hãy tính:
Cách giải
Theo công thức của nguyên hàm từng phần chúng ta sẽ có:
b) Đặt
Theo công thức của nguyên hàm từng phần ta có:
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
2.5 Bài 5 trang 93
Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác nhau của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.
Cách giải
(x) = x2 + 2 do (F(x))’=( x2 + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát nếu F(x) = x2 + c với c sẽ là số thực.
F(x) = lnx + 100 và do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c sẽ là số thực.
2.6 Bài 6 trang 93
Hãy chứng minh về định lý 1.
Cách giải
Vì F(x) sẽ là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C sẽ là hằng số nên (C)’ sẽ = 0.
Nên ta có:
(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)
Vậy G(x) sẽ là một nguyên hàm của f(x).
2.7 Bài 7 trang 99
Ta có (xcosx)’ = cosx – xsinx hay là – xsinx = (xcosx)’ – cosx.
Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và cùng với ∫ cosxdx. Từ đó, sẽ tính ∫ xsinxdx.
Cách giải
Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và với ∫ cosxdx = sinx. Từ đó
∫ xsinxdx = – ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C.
2.8 Bài 8 trang 98
a) Cho ∫(x – 1)10 dx. Đặt u = x – 1, hãy viết là (x – 1)10dx theo u và du.
b)∫ 
. Đặt x = et và hãy viết 
theo t và dt.
a) Ta có (x – 1)10dx = u10 du hay (do du = d(x – 1) = dx.
b) Ta có là dx = d(et) = et dt, do đó nên 
=>> Bài viết liên quan: Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán Đại 12: Chương Nguyên Hàm
3. Hướng dẫn Giải toán 12 bài nguyên hàm SBT
Giải bài tập toán lớp 12 nguyên hàm các bạn rèn luyện khả năng suy luận logic và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức toán học vào cuộc sống và trong các môn học dễ dàng và học tập tốt môn toán 12 hơn.
3.1 Bài tập trang 163
Kiểm tra xem là nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số như sau:
Cách giải
a) Hàm số sẽ là 
và là một nguyên hàm của hàm 
b) Hàm số g(x) = sinx là một trong những nguyên hàm của hàm số là f(x) = esinx.cosx
c) Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số là 
3.2 Bài tập trang 164
Tìm nguyên hàm của các hàm số ở dưới đây
Cách giải
3.3 Bài tập trang 165
Tìm các nguyên hàm sau đây
Cách giải
Hướng dẫn: Đặt u = x + lnx và dv = x2dx
Hướng dẫn: Đặt u = x + sin2x và dv = sinxdx
Hướng dẫn: Đặt u = x + ex và dv = e2xdx
Hướng dẫn: Đặt u = x + sinx và dv = d(tanx)
3.4 Bài tập trang 164
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi của biến số
Cách giải
=>> Ngoài kiến thức bổ ích ở trên, bạn có thể xem thêm kiến thức trọng tâm ở đây nhé : =>> Toán lớp 12
4. Lý thuyết toán 12 bài nguyên hàm
Sau đây, sẽ tóm tắt lý thuyết giải toán 12 bài nguyên hàm chi tiết nhất giúp các em dễ hiểu hơn khi học và nắm bắt kiến thức nhanh chóng hơn.
4.1 Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1 là: (∫f (x) dx) ‘= f (x) và cùng với ∫f’ (x) dx = f (x) + C
- Tính chất 2 sẽ là: ∫kf (x) dx = k∫f (x) dx với k sẽ là hằng số khác với 0
- Thuộc tính 3 là: [f (x) ± g (x)] dx = f (x) dx ± g (x) dx.
4.2 Sự tồn tại của các nguyên hàm
Định lí: Ở mọi hàm số f(x) liên tục ở trên K đều có nguyên hàm nằm trên K.
4.3 Bảng nguyên hàm của một số có hàm sơ cấp
4.4 Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và với u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục, thì ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta sẽ có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Giải toán 12 bài nguyên hàm có phương pháp biến đổi giúp giải bài tập nhanh
4.5 Phương pháp của nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số là u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục ở trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx
Hay ∫udv = uv – ∫vdu.
Bài viết trên đã tổng hợp và chia sẻ với các em học sinh về Giải toán 12 bài nguyên hàm nhằm giúp các em ứng dụng và có thể tự tin ôn tập tại nhà một cách hiệu quả nhất. Hơn nữa, đây còn là kiến thức để giúp các em trang bị thêm nhiều kiến thức bổ ích cho kỳ thi giúp các em học thi tốt toán 12.
=>> Các bạn hãy theo dõi Kiến Guru để cập nhật bài giảng và kiến thức các môn học khác nhé!
