Mục lục
Như các bạn đã biết, lớp 12 là một năm bước ngoặt trong cuộc đời học sinh trước ngưỡng cửa đại học. Với mục đích giúp cho học sinh có một cái nhìn tổng quan về nội dung của chương trình toán 12, Kiến Guru đã tổng hợp hai chuyên đề đặc biệt trong chương trình giảng dạy “Toán Lớp 12”. Đây là phần kiến thức quan trọng và cần sự đầu tư nghiên cứu, rất cần thiết cho các bạn ôn thi tốt nghiệp và đại học. Kiến xin chia bài viết thành hai phần chính là hàm số và phương trình mặt phẳng.
Chuyên đề biên soạn được Kiến sưu tầm và tổng hợp từ các nguồn tin cậy, nên đảm bảo tính đúng đắn. Mời các bạn cùng theo dõi.
I. Chuyên đề Đồ thị hàm số trong Chương trình toán 12.
Khối lượng bài học của chương trình toán lớp 12 phần giải tích khá nhiều. Trong đấy tính đơn điệu của hàm ẩn là một chủ đề theo Kiến là khá thú vị. Nên Kiến sẽ hướng dẫn các bạn một số bài tập phần này nhé.
Đề bài: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ đính kèm. Hàm số g(x)=f(1-2x)+x2-x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Bình luận: Đây là câu có nội dung về tính đơn điệu của một hàm số đòi hỏi vận dụng kiến thức ở mức cao. Để giải quyết trường hợp này hoặc những trường hợp tương tự khác, các bạn cần vững những kiến thức cơ bản sau:
+ Tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm.
+ Đạo hàm hàm hợp.
Phân tích hướng giải
Dạng toán: Đây là một dạng toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn dạng g(x) = f[u(x)] + v(x) khi biết đồ thị của hàm số y = f'(x).
Hướng giải
Cách 1:
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
+ Bước 2: Sử dụng đồ thị của f'(x), lập bảng xét dấu của g'(x).
+ Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa trên kết quả của bảng xét dấu.
Cách 2:
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
+ Bước 2: Hàm số g(x) đồng biến ⇔ g'(x) ≥ 0 (Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g'(x) ≤ 0).
+ Bước 3: Giải bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 3: (Trắc nghiệm)
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
+ Bước 2: Hàm số g(x) đồng biến trên K ⇔ g'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K (Hàm số g(x) nghịch biến trên K ⇔ g'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K).
+ Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g'(x) để loại các phương án sai.
Để hiểu rõ hơn, bạn có thể tham khảo lời giải ở dưới đây:
II. Chuyên đề Phương trình mặt phẳng trong Chương trình toán lớp 12.
Lý thuyết chương trình toán lớp 12 phần hình học cũng sẽ là một thử thách không nhỏ đối với các bạn học sinh. Trong đó, chủ đề viết phương trình mặt phẳng, đây là một chủ đề quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi đại học.
1. Các dạng bài phương trình mặt phẳng thường gặp
Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng (α) khi đã biết vectơ pháp tuyến (A ; B; C) và một điểm M0(x0; y0; z0) thuộc (α)
Phương trình (α) có dạng : A(x – x0) + B(y – y0 ) + C(z – z0) = 0 ;
Rồi từ đó ta có được dạng tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0, với D = -(Ax0 + By0 + Cz0).
Dạng 2. Cho ba điểm M, N, P không thẳng hàng.Tìm phương trình mặt phẳng (α) đi qua M, N, P đã cho.
Tìm vectơ pháp tuyến của (α) :
Ta đưa bài toán về loại 1, đã nêu ở trên.
Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm M0 (x0; y0; z0) và song song với mặt phẳng (β) : Ax + By + Cz + D = 0
– Phương trình (α) có dạng : Ax + By + Cz + D’ = 0
– Thay toạ độ M0 vào (1) ta tìm được D’.
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa hai điểm M, N, biết rằng mặt phẳng (α) cũng vuông góc với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0
– Tìm vectơ pháp tuyến của (α):
=> Bài toán lại được quy về loại 1. Như các bạn thấy, các công thức đều có liên quan tới nhau, quan trọng các bạn cần nắm rõ và biến đổi một cách linh hoạt, điều đó sẽ giúp ích cho việc định hướng giải bài tập rất nhiều.
2. Ví dụ về các dạng bài phương trình mặt phẳng
Ví dụ 1: cho điểm A(0; 1; -1) trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (Q) đi qua và A có vectơ pháp tuyến là (2;3;4). Chọn đáp án đúng: phương trình mặt phẳng (Q) là:
A. y – z = – 1 B. 2x + y – z- 3= 0
C. 2x + 3y + 4z +1= 0 D. 2x- 3y + 4z-9=0
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vectơ pháp tuyến (2;3;4) có phương trình là:
2( x – 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0
Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Xét không gian Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.
A. x + 2y – 3z – 3= 0 B. x – 2y+ 3z = -5
B. x+ 2y – 3z +3 = 0 D. – x+ 2y + 10 = 0
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1;2-3) .
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến (1;2-3) nên có phương trình:
1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x + 2y – 3z – 3 = 0
Như vậy chúng ta đã vừa xem hai chuyên đề đặc biệt trong chương trình toán 12. Hi vọng với thông tin trên các bạn học sinh sẽ có được sự chuẩn bị cần thiết cho năm học quan trọng nhất của bậc học phổ thông, cũng như là đạt kết quả như ý trong kì thi tốt nghiệp THPT sắp tới. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm một số chủ đề trong chương trình toán 12 ở các bài viết khác trên trang Kiến Guru để có thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé.
