Mục lục
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức nền tảng cho các chương trình Toán học phổ thông. Vì vậy, các em phải nắm vững cũng như thuộc lòng cả 7 hằng đẳng thức mới có thể vận dụng làm bài tập. Trong bài viết ngày hôm nay, Kiến Guru gửi đến các em phần lý thuyết và lời giải bài 30 trang 16 sgk toán 8 tập 1 cùng các bài tập có liên quan ở trang 16 sgk toán 8 tập 1. Các em đón xem và ôn tập nhé!!!.
Ôn tập kiến thức trong giải bài 30 trang 16 sgk toán 8 tập 1
1. Bình phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2.
Ví dụ:
a) Tính ( a + 3 )2.
b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( a + 3 )2 = a2 + 2.a.3 + 32 = a2 + 6a + 9.
b) Ta có x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.
2. Bình phương của một hiệu
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )2 = A2 – 2AB + B2.
Ví dụ:
a) Tính ( 5x -y)2
b) Viết biểu thức 4x2 – 4x + 1 dưới dạng bình phương của một hiệu
Hướng dẫn:
a) Ta có ( 5x -y )2 = ( 5x )2 – 2.5x.y + ( y )2 = 25x2 – 10xy + y2.
b) Ta có 4x2 – 4x + 1 = ( 2x )2 – 2.2x.1 + 1 = ( 2x – 1 )2.
3. Hiệu hai bình phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A2 – B2 = ( A – B )( A + B ).
Ví dụ:
a) Tính ( x – 2 )( x + 2 ).
b) Tính 56.64
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( x – 2 )( x + 2 ) = ( x )2 – 22 = x2 – 4.
b) Ta có: 56.64 = ( 60 – 4 )( 60 + 4 ) = 602 – 42 = 3600 – 16 = 3584.
4. Lập phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
Ví dụ:
a) Tính ( x + 2 )3.
b) Viết biểu thức x3 + 3x2 + 3x + 1 dưới dạng lập phương của một tổng.
Hướng dẫn:
a) Ta có ( x + 2 )3 = x3 + 3.x2.2 + 3x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
b) Ta có x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3x2.1 + 3x.12 + 13 = ( x + 1 )3.
5. Lập phương của một hiệu.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
Ví dụ :
a) Tính ( 2x – 1 )3.
b) Viết biểu thức x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 dưới dạng lập phương của một hiệu.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( 2x – 1 )3 = ( 2x )3 – 3.( 2x )2.1 + 3( 2x ).12 – 13 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1
b) Ta có : x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = ( x )3 – 3.x2.2y + 3.x.( 2y )2 – ( 2y )3 = ( x – 2y )3
6. Tổng hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ).
Chú ý: Ta quy ước A2 – AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A – B.
Ví dụ:
a) Tính 33 + 43.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x2 – x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.
Hướng dẫn:
a) Ta có: 33 + 43 = ( 3 + 4 )( 32 – 3.4 + 42 ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x2 – x + 1 ) = x3 + 13 = x3 + 1.
7. Hiệu hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ).
Chú ý: Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của tổng A + B.
Ví dụ:
a) Tính 63 – 43.
b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2 + 2xy + 4y2 ) dưới dạng hiệu hai lập phương
Hướng dẫn:
a) Ta có: 63 – 43 = ( 6 – 4 )( 62 + 6.4 + 42 ) = 2.76 = 152.
b) Ta có : ( x – 2y )( x2 + 2xy + 4y2 ) = ( x )3 – ( 2y )3 = x3 – 8y3.
Gợi ý lời giải bài 30 trang 16 sgk toán 8 tập 1
Bài 30 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
Lời giải:
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
= x3 + 33 – (54 + x3) (Áp dụng HĐT (6) với A = x và B = 3)
= x3 + 27 – 54 – x3
= –27
b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]
= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3]
= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3
= 2y3
Kiến thức áp dụng
Hằng đẳng thức cần nhớ:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) (6)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) (7)
Hỗ trợ giải các bài tập trang 16 sgk toán 8 tập 1
Bài 31 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5
Lời giải:
a) Biến đổi vế phải ta được:
(a + b)3 – 3ab(a + b)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2
= a3 + b3
Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) Biến đổi vế phải ta được:
(a – b)3 + 3ab(a – b)
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2
= a3 – b3
Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
– Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta được:
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35
Kiến thức áp dụng
Hằng đẳng thức cần nhớ:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4)
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 + B3 (5)
Bài 32 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:
Lời giải:
a) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (6).
27x3 + y3
= (3x)3 + y3
= (3x + y)[(3x)2 – 3x.y + y2] (Áp dụng HĐT (6) với A = 3x, B = y)
= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
Vậy ta cần điền :
b) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (7)
8x3 – 125
= (2x)3 – 53
= (2x – 5).[(2x)2 + (2x).5 + 52] (Áp dụng HĐT (7) với A = 2x, B = 5)
= (2x – 5).(4x2 + 10x + 25)
Vậy ta cần điền :
Kiến thức áp dụng
Hằng đẳng thức cần nhớ:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) (6)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) (7)
Bài 33 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Tính
a) (2 + xy)2
b) (5 – 3x)2
c) (5 – x2)(5 + x2)
d) (5x – 1)3
e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
f) (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Lời giải:
a) (2 + xy)2
= 22 + 2.2.xy + (xy)2 (Áp dụng HĐT (1))
= 4 + 4xy + x2y2
b) (5 – 3x)2
= 52 – 2.5.3x + (3x)2 (Áp dụng HĐT (2))
= 25 – 30x + 9×2
c) (5 – x2)(5 + x2)
= 52 – (x2)2 (Áp dụng HĐT (3))
= 25 – x4
d) (5x – 1)3
= (5x)3 – 3.(5x)2.1 + 3.5x.12 – 13 (Áp dụng HĐT (5))
= 125x3 – 75x2 + 15x – 1
e) (2x – y).(4x2 + 2xy + y2)
= (2x – y).[(2x)2 + 2x.y + y2]
= (2x)3 – y3 (Áp dụng HĐT (7))
= 8x3 – y3
f) (x + 3)(x2 – 3x + 9)
= (x + 3)(x2 – x.3 + 32)
= x3 + 33 (Áp dụng HĐT (6))
= x3 + 27
Kiến thức áp dụng
Các hằng đẳng thức cần nhớ :
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (2)
A2 – B2 = (A – B)(A + B) (3)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4)
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 (5)
A3 + B3 = (A + B).(A2 – AB + B2) (6)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) (7)
Kết luận
Trên đây, Kiến Guru đã giới thiệu đến các em phần lý thuyết về bảy hằng đẳng thức và lời giải chi tiết bài 30 trang 16 sgk toán 8 tập 1. Hy vọng rằng các em có thể nắm chắc kiến thức bài học. Kiến mong được đồng hành cùng các em trong quá trình chinh phục kiến thức các môn học. Hãy theo dõi các bài học tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu, kiến thức bổ ích nữa nhé.
