Mục lục
Nhằm hỗ trợ bạn tốt nhất trong quá trình hệ thống kiến thức và vận dụng vào các bài tập liên quan đến bất phương trình, bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tóm tắt các kiến thức quan trọng cần nhớ và hướng dẫn giải bài tập.
Lý thuyết cần nhớ
Trước khi thực hiện các bài tập và được hướng dẫn chi tiết giải chúng, chúng ta cần điểm qua lại các lý thuyết và công thức quan trọng cần nhớ về bất phương trình nhằm mang đến hiệu quả tốt nhất khi bạn vận dụng làm các bài tập liên quan.
1 – Khái niệm
- Một bất phương trình một ẩn là bất phương trình có ẩn x là một mệnh đề có dạng f(x) < g(x) hay f(x) < hoặc bằng g(x)với f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Khi đó, ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình ở trên. Và khi số thực x0 thỏa điều kiện f(x0) < g(x0) hay (f(x0) ≤ g(x0)) thì x0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình trên.
- Một bất phương trình chứa tham số là bất phương trình ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số. Thì còn có thể có các chữ khác được xem như những là hằng số và chúng được gọi là tham số.
2 – Hệ bất phương trình có một ẩn số
- Một hệ bất phương trình ẩn x nghĩa là chúng gồm một số bất phương trình ẩn x mà chúng ta phải tìm nghiệm chung của chúng.
- Với mỗi giá trị của x mà đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ. Thì x được gọi là một nghiệm của chính hệ bất phương trình đã cho trước đó.
3 – Điều kiện của một bất phương trình
Về điều kiện của một bất phương trình thì cũng tương tự khi đối với phương trình. Ta sẽ gọi các điều kiện của ẩn số x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa. Đây là điều kiện xác định (hay còn được gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình đã cho ban đầu ở mục 1.
4 – Một số phép biến đổi bất phương trình
Ở mục này thì chúng ta sẽ tìm hiểu một số phép biến đổi bất phương trình quan trọng cần nhớ. Và chúng ta có 5 phép biến đổi phổ biến thường gặp trong các bài tập liên quan.
4a – Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình hay hệ bất phương trình thì ta liên tiếp biến đổi chúng thành những bất phương trình hay hệ bất phương trình tương đương. Cho tới khi ta được bất phương trình hay hệ bất phương trình đơn giản nhất mà có thể viết ngay tập nghiệm.
4b – Phép biến đổi khi cộng/ trừ
Khi ta thực hiện cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức. Nhưng không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình thì được một bất phương trình tương đương như sau:
P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x), với mọi x
4c – Phép biến đổi khi nhân/ chia
Khi thực hiện Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức và ta luôn nhận giá trị dương thì được một bất phương trình tương đương. Và ngược lại khi luôn nhận giá trị âm và đổi chiều bất phương trình thì ta cũng nhận được một bất phương trình tương đương như sau:
P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, với mọi x
P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, với mọi x
4d – Phép biến đổi dạng bình phương
Khi ta thực hiện bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm. Những lại không làm thay đổi điều kiện của chúng thì ta được một bất phương trình tương đương như sau:
P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0 với mọi x.
Cần nhớ các phép biến đổi tương đương để thực hiện bất phương trình.
Cách giải bất phương trình
Sau khi bạn tìm hiểu một số lý thuyết quan trọng của bất phương trình, để hỗ trợ bạn thực hiện các bài tập một cách nhanh nhất và hiệu quả nhất, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách giải bất phương trình chính xác và nhanh chóng nhất.
- Đối với giải bất phương trình hoặc giải hệ phương trình: Nghĩa là ta thực hiện tìm các tập nghiệm thông qua biến đổi tương đương. Và khi có tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình đó vô nghiệm.
- Đối với giải bất phương trình chứa tham số: Nghĩa là cũng biến đổi tương đương rồi xét xem. Với các giá trị nào của tham số mà bất phương trình đó vô nghiệm hay có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
- Đối với giải một hệ bất phương trình: Nghĩa là ta giải từng bất phương trình rồi như công thức ở trên rồi lấy giá trị giao của các tập nghiệm.
Đối với mỗi dạng bất phương trình thì có kết quả giải khác nhau.
Một số bài tập giải bất phương trình
Và để bạn có thể hiểu hơn về lý thuyết cũng như vận dụng tốt hơn các phần lý thuyết và công thức đã học. Bài viết sẽ hướng dẫn bạn thực hiện chi tiết một số bài tập về bất phương trình để nâng cao tính tư duy của bạn nhé.
1 – Bài tập số 1
Nội dung: Sử dụng các lý thuyết và công thức được học để tìm tập nghiệm của bất phương trình sau đây:
Cách giải: Ta thực hiện biến đổi tương đương và cứ xem dấu bé hơn là dấu bằng rồi thực hiện nhân, chia, cộng, trừ bình thường. Sau đó, nếu x mang dấu trừ thì ta thực hiện đổi dấu khi thực hiện phép tính tiếp theo còn không thì giữ nguyên. Để có thể hiểu cụ thể hơn thì bạn hãy tham khảo hướng dẫn thực hiện chi tiết bài toán sau đây:
2 – Bài tập số 2
Nội dung: Sử dụng các lý thuyết và công thức được học để giải hệ bất phương trình đã cho sau đây:
Cách giải: Ở bài toán này thì ta sẽ thực hiện giải từng bất phương trình một và áp dụng cách giải biến đổi tương đương. Sau đó tìm được tập nghiệp của từng bất phương trình rồi giao lại với nhau. Lúc đó, các khoảng nghiệm giao nhau và tập nghiệm của hệ phương trình này. Để có thể hiểu cụ thể hơn thì bạn hãy tham khảo hướng dẫn thực hiện chi tiết bài toán sau đây:
3 – Bài tập số 3
Nội dung: Sử dụng các lý thuyết và công thức được học để chứng mình các bất phương trình đã cho sau đây là vô nghiệm:
Cách giải: Ở câu a thì ta có điều kiện của x vì có căn bậc 2 và có bình phương. Khi đó, cộng 2 điều kiện trên thì hiển nhiên sẽ tính ra được nghiệm lớn hơn số âm bất kỳ. Từ đó có thể suy ra bất phương trình ở câu a vô nghiệm. Với câu b thì ta cũng tình tập xác định cho từng biểu thức trong căn rồi cộng lại thì ta thấy bất phương trình đã cho luôn lớn hơn 2. Từ đó, bất phương trình b cũng được chứng minh vô nghiệm. Để có thể hiểu cụ thể hơn thì bạn hãy tham khảo hướng dẫn thực hiện chi tiết bài toán sau đây:
Một số bài toán liên quan khác bạn có thể tham khảo.
Kết luận
Bất phương trình có dạng f(x) nhỏ hơn hoặc bằng g(x) và một bất phương trình có thể có nghiệm là x0 hoặc vô nghiệm. Để thực hiện được các bài tập này thì bạn cần áp dụng các biến đổi tương đương và thực hiện một số bài tập liên quan để có thể nhớ được cách vận dụng các lý thuyết đã học được tốt nhất.
Trên đây là các thông tin tổng quan về hệ thống các lý thuyết và công thức quan trọng cần nhớ của bất phương trình, đồng thời, hướng dẫn bạn thực hiện chi tiết các bài tập liên quan từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng những thông tin hữu ích trên có thể giúp bạn hiểu và biết cách vận dụng kiến thức đã học vào các bài tập liên quan sau này.
