Mục lục
Nội dung hướng dẫn giải bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1 ngày hôm nay sẽ giúp các em tổng kết được lý thuyết của toàn bộ hình học chương II. Các bước giải được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài, đồng thời là tư liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập.
Sau đây là nội dung chi tiết giải bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1, mời các bạn cùng theo dõi.
I. ÔN TẬP KIẾN THỨC TRONG GIẢI MÔN TOÁN 9 TẬP 1 TRANG 128 SGK
Để làm bài tập ở bất kì môn học nào, bạn đọc cần hiểu và nắm được những nội dung kiến thức tổng quát liên quan đến dạng bài đó nói riêng và chủ đề bài học nói chung. Toàn bộ nội dung bài học này đề cập đến những kiến thức mà các bạn đã được học trong chương II phần hình và giới thiệu phương pháp vận dụng nó vào các bài toán. Trước khi đi vào phần hỗ trợ giải chi tiết bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1, hãy cùng chúng mình ôn tập lại lý thuyết cần quan tâm trong bài học này nhé!
1. Định nghĩa về đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).
Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.
Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.
Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
+ Trong một đường tròn:
⋅ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
⋅ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
+ Trong hai dây của một đường tròn:
⋅ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
⋅ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).
5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
7. Đường tròn nội tiếp tam giác
+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
8. Đường tròn bàng tiếp tam giác
+ Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
+ Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
+ Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
9. Tính chất đường nối tâm
+ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.
+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
10. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r). Đặt OO’ = d.
11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
+ Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
+ Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
II. CHI TIẾT LỜI GIẢI BÀI 41 TRANG 128 SGK TOÁN 9 TẬP 1
Qua phần hệ thống kiến thức trên, chắc hẳn các bạn đã nhớ hơn về kiến thức ôn tập chương II rồi nhỉ ? Vậy bây giờ chúng ta hãy cùng bắt tay vào giải cụ thể bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1 nhé !
Đề bài
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Lời giải
a) Có :
OI = OB – IB nên (I) tiếp xúc trong với (O)
OK = OC – KC nên (K) tiếp xúc trong với (O)
IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)
b) Theo đề bài, ta có:
HE ⊥ AB tại E
c) Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AH2 = AE. AB
Xét tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AH2 = AF. AC
Do đó, AE. AB = AF. AC (vì cùng bằng AH2)
d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: ME = MF = MH = MA (do AEHF là hình chữ nhật)
Xét tam giác MEI và tam giác MHI có:
ME = MH
IE = IH (cùng bằng bán kính đường tròn (I))
MI chung
Do đó, tam giác MEI và tam giác MHI bằng nhau (theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh)
=> ME ⊥ EI tại E
Mà IE là bán kính đường tròn (I)
Do đó, ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Mặt khác ta lại có:
Xét tam giác MFH có:
MF = MH (chứng minh trên)
Do đó, tam giác MFH cân tại M
e) Cách 1:
Do AEHF là hình chữ nhật nên ta có: EF = AH
Mà dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính nên nửa dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính nên ta có: AH ≤ AO.
Do đó, EF ≤ AO = R (với R là bán kính của đường tròn (O) luôn không đổi)
Dấu bằng xảy ra khi H trùng với O
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
III. HỖ TRỢ GIẢI ĐÁP CÁC BÀI TẬP KHÁC TRANG 128 SGK TOÁN 9 TẬP 1
Với việc hỗ trợ giải cụ thể bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1, các em đã nắm được phương pháp cũng như cách giải quyết bài toán cụ thể rồi đúng không nào. Và để nhuần nhuyễn hơn trong việc áp dụng kiến thức đã học, chúng ta hãy cùng nhau giải những bài toán trong nội dung môn học này nhé !
Bài 42 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO’
Lời giải:
a) Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)
Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)
Xét tam giác MBA cân tại M (do MA = MB )
Có EM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ME cũng là đường cao.
b) Xét tam giác AOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)
Có:
AE ⊥ MO nên AE là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
MA2 = ME . MO (3)
Xét tam giác AO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)
Có AF ⊥ MO’ nên AF là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
MA2 = MF.MO’ (4)
Từ (3) và (4) ME. MO = MF. MO’.
c) Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)
Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA, đường tròn này có BC là đường kính do = 900
Mặt khác OO’ ⊥ MA tại A
Do đó, OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.
d, 
Do đó, tam giác OMO’ vuông tại M
Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.
Bài 43 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; r) theo thứ tự C và D (khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.
Lời giải:
a) Vẽ OM ⊥ AC tại M, O’N ⊥ AD tại N
Xét đường tròn (O)
Có:
OM ⊥ AC => MA = MC = AC (định lý đường kính vuông góc với dây)
Xét đường tròn (O’)
Có:
O’N ⊥ AD => NA = ND = 
(định lý đường kính vuông góc với dây)
Mặt khác, ta có OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD
=> OM // IA // O’N
Do đó, tứ giác OMNO’ là hình thang.
Xét hình thang OMNO’
Có:
IA // OM // O’N
IO = IO’ (I là trung điểm của OO’)
⇒ MA = NA (do đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm 1 cạnh bên thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại)
Do đó, 2MA = 2NA ⇒ AC = AD.
b)Ta có (O) và (O’) cắt nhau tại A, B
Do đó, OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau)
⇒ IA = IB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Mặt khác IA = IK (vì K đối xứng với A qua I)
Do đó, tam giác KBA vuông tại B => KB ⊥ AB (đpcm).
IV. KẾT LUẬN
Với lượng kiến thức chúng ta đã cùng trao đổi với nhau suốt buổi học vừa rồi, có lẽ các em đã làm chủ được toàn bộ phần hình học chương II toán 9 tập 1 rồi nhỉ?
Những bài tập trong trang 128 sgk toán 9 nói chung và bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1 nói riêng cũng đã được KienGuru hướng dẫn giải một cách tỉ mỉ kèm công thức áp dụng.
Hi vọng lượng kiến thức trên sẽ là hành trang quý báu giúp đỡ được các em trong việc làm chủ kiến thức toán 9 của mình. Các bạn hãy theo dõi những bài viết khác của Kiến Guru để cập nhật kiến thức những môn học khác nữa nhé!
Tạm biệt và hẹn gặp lại trong những bài giảng thú vị khác.
