Bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1 – Hệ thống kiến thức và hướng dẫn giải bài tập

Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây là một bài học quan trọng trong chương trình toán lớp 9. Sau đây, mời các bạn học sinh tham khảo bài viết về bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1 để có thể hỗ trợ trong quá trình ôn luyện bài học trên lớp cũng như rèn luyện tại nhà. Chúc các bạn sẽ hoàn thành tốt môn học này cũng như đạt kết quả cao trong quá trình học tập sau khi cùng chúng tôi tìm hiểu về bài dưới đây.

I. Tổng hợp lý thuyết trong giải sgk toán 9 bài 15 trang 106 tập 1

1. Lý thuyết liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lý 1: Trong một đường tròn bất kỳ

1. Nếu hai dây có độ dài bằng nhau thì chúng sẽ cách đều tâm
2. Và ngược lại, nếu hai dây cách đều tâm thì chúng sẽ bằng nhau.

Định lý 2: Trong hai dây của một đường tròn bất kỳ

1. Nếu dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó sẽ có khoảng cách gần tâm hơn
2. Và ngược lại, dây nào có khoảng cách gần tâm hơn thì dây đó sẽ lớn hơn.

2. Phương pháp giải bài toán liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Dạng 1: Dạng toán so sánh hai đoạn thẳng

Khi tiến hành giải toán 9 trang 106, dưới đây là dạng toán mà các em dễ dàng bắt gặp. Cụ thể là bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1. Phương pháp để giải dạng toán này đó chính là vận dụng những kiến thức từ 2 định lý đã được nêu trêu. Cụ thể như sau:

Trong cùng một đường tròn:

• Hai dây có chiều dài bằng nhau thì sẽ có khoảng cách đến tâm bằng nhau.
• Hai dây có khoảng cách đến tâm bằng nhau sẽ có chiều dài bằng nhau.

Trong cùng một đường tròn:

• Dây nào có chiều dài lớn hơn sẽ có khoảng cách gần tâm hơn.
• Dây nào có khoảng cách gần tâm hơn sẽ có chiều dài lớn hơn.

Dạng 2: Tính toán độ dài của các đoạn thẳng, cùng các yếu tố khác

• Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây đường tròn
• Nếu đường kính đường tròn vuông góc với dây thuộc đường tròn đó, điểm giao nhau chính là trung điểm của dây tròn.
• Nếu đường kính đường tròn đi qua trung điểm của một dây thuộc đường tròn đó, thì sẽ vuông góc với dây.
• Định lý Pitago cho tam giác vuông.

Phương pháp giải bài toán liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây đã được chuyên gia tóm tắt đầy đủ. Tuy nhiên nếu chỉ đọc lý thuyết, các bạn học sinh khó có thể giải quyết nhanh chóng những bài toán hình liên quan. Bài viết ở dưới sẽ hướng dẫn các em giải các bạn giải bài tập điển hình cho dạng toán này- chính là bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1.

II. Áp dụng trong giải bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1

Chúng ta hãy cùng vận dụng những kiến thức phía trên vào giải bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1 nhé!

Cho hình 70 ở dưới trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD

Hướng dẫn giải:

1. Xét đường tròn nhỏ:

Ta có định lý: trong cùng một đường tròn, dây nào có chiều dài lớn hơn sẽ có khoảng cách gần tâm hơn.

Theo giả thiết bài toán đưa ra, AB CD nên dây AB sẽ gần tâm hơn so với dây CD

=> OH < OK

1. Xét đường tròn lớn:

Từ đáp án câu a ta có OH < OK => ME > MF

1. Xét đường tròn lớn:
2. Bởi vì OH ME => EH= MH=

Bởi vì OK MF => KF= MK=

Từ câu b có: ME > MF => =

III. Lời giải và đáp án các bài tập khác trang 106 sgk toán 9 tập 1

Ngoài bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1 mà các bạn cần chú ý thì dưới đây chúng tôi cũng hướng dẫn cho các bạn một số bài toán liên quan trang 106 sgk. Với hy vọng sẽ giúp các bạn hoàn thành tốt môn học này.

1. Bài 12 trang 106 Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn có tâm O bán kính là 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Hãy tính khoảng cách đi từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I chính là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và sẽ vuông góc với AB. Hãy chứng minh rằng CD = AB.

Hướng dẫn giải:

Ta kẻ OH AB tại điểm H

Khi đó, đường tròn tâm O có đường thẳng OH là một phần của đường kính vuông góc với dây AB tại điểm H

Vì vậy, chúng ta có thể suy ra H là trung điểm của dây tròn AB ( Theo định lí 2 trang 103 sgk toán 9 tập 1)

=> HA có chiều dài bằng HB và bằng AB/2= 4 (cm)

Ta xét tam giác HOB vuông tại đỉnh H, áp dụng định lý pitago có:

OB² = OH² + HB² ⬄ OH² = OB² – HB²

⇔ OH² = 5² – 4² = 25- 16= 9

=> OH= 9 cm

Vậy từ tâm O đến dây AB có khoảng cách là 3cm.

Ta kẻ OK CD tại điểm K

Xét tứ giác KOHI vuông tại 3 góc ( góc K, góc H, góc I) nên đây chính là hình chữ nhật.

=> Chiều dài của OK và HI bằng nhau.

Vì vậy HI= AH- AI= 4-1= 3 cm

Mà OK= HI => OK= 3 cm

Dây AB và dây CD có khoảng cách đến tâm bằng nhau nên chúng có chiều dài bằng nhau.

=> AB= CD

2. Bài 13 trang 106 toán 9 tập 1

Cho đường tròn (O) có các dây là AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự chính là trung điểm của AB và CD. Hãy chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Hướng dẫn giải:

Hình minh họa cụ thể cho bài toán 13 trang 106

Ta có HA= HB nên OH AB

Bên cạnh đó, KC= KD nên ta có thể suy ra OK CD

Tam giác HOE bằng tam giác KOE ( cạnh huyền, cạnh góc vuông)

=> EH= EK (1)

Theo bài toán ta có AB= CD

Mà H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD

=> AH= KC (2)

Từ kết luận (1), (2) => EH+ HA= EK+ KC => EA= EC

3. Bài 14 trang 106 sgk toán 9 tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, có dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Hướng dẫn giải:

Ta vẽ OH AB, đường thẳng OH cắt đường thẳng CD tại điểm K

Ta có:

OK CD

KC= KD

AH= HB

Tam giác OBH vuông tại đỉnh H có:

OH= = 15 (cm)

=> OK= 22- 15= 7 (cm)

Ta áp dụng định lý Pitago cho tam giác OKD vuông tại đỉnh K, có:

KD= = 24 (cm)

=> CD= 2KD= 48 (cm)

4. Bài 16 trang 106 toán 9 tập 1

Cho đường tròn (O), điểm A nằm ở bên trong đường tròn. Vẽ dây BC sẽ vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và sẽ không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây của BC và EF.

Hướng dẫn giải:

Vẽ OH EF tại điểm H

Xét tam giác HOA vuông tại đỉnh H có OA là cạnh huyền

=> OA > OH ( trong một tam giác vuông, cạnh huyền có chiều dài lớn nhất)

=> EF= BC ( dây nào có khoảng cách gần tâm hơn sẽ có chiều dài lớn hơn)

Từ đó, ta rút ra nhận xét: Trong các dây cùng đi qua điểm A thuộc đường tròn, dây nào vuông góc với OA chính là dây có chiều dài ngắn nhất.

Vậy là các độc giả nói chung và các bạn học sinh nói riêng đã cùng chúng tôi tìm hiểu về cách giải bài 15 trang 106 sgk toán 9 tập 1. Hy vọng các bạn có thể nắm vững được kiến thức về lý thuyết liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây để giải được nhuần nhuyễn các bài tập khác trong trang 106. Nếu có vấn đề nào thắc mắc hãy truy cập vào kienguru.vn để tìm hiểu thêm những thông tin bổ ích.