Mục lục
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu là gì? Trong bài học “Giải đáp bài 10 trang 59 sgk toán 7 tập 2 – Chi tiết và Ngắn gọn“ này, chúng ta sẽ cùng các bé tìm hiểu về nội dung trên. Đây là một trong những phần kiến thức vô cùng quan trọng của chương trình Toán 7, phân môn Hình học.
Các bạn hãy theo dõi bài viết ngay dưới đây nhé!
I. Hệ thống lý thuyết trong giải bài 10 trang 59 sgk toán 7 tập 2
1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên
Từ A không nằm trên d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Trên d lấy điểm B không trùng với H. Khi đó:
+ Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến d
+ Đoạn AB gọi là đường xiên kẻ từ A đến d
+ Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng d
Nhận xét:
a) Ta đã biết:
“Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng d kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với d”
Do đó, qua một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ được duy nhất một đường vuông góc đến đường thẳng d
b) Vì với mỗi điểm B (B khác H) thuộc d ta nhận được một đường xiên.
Do đó, qua A có vô số đường xiên đến đường thẳng d
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Trong phần này, ta đi thiết lập mối quan hệ về độ dài giữa đường vuông góc và đường xiên.
Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Chứng minh:
Cách 1: Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Cách 2: Sử dụng định lí Pitago
Chú ý:
Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d
3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Chứng minh:
a) Chứng minh: Nếu HD>HB thì AD>AB
Áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABH và AHD ta được:
Theo giả thiết, HD>HB nên
Từ (1), (2) và (3), suy ra
hay AD>AB
b) Chứng minh:
Theo giả thiết, AD>AB nên
Từ (1), (2) và (4), suy ra
c) 
Áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABH và AHC ta được:
Khi so sánh các đường xiên, ta phải so sánh các đường xiên cùng kẻ từ một điểm, các hình chiếu xét trên cùng một đường thẳng.
Ví dụ 1:
Cho hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau tại O. Lấy bất kì thuộc đường thẳng d. Lấy B, D bất kì thuộc d’ như hình vẽ:
Ta không thể dùng kiến thức về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu để so sánh AB và CD
3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là độ dài đường vuông góc AH kẻ từ A đến d
3.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này tới đường thẳng kia.
Ta có: a // b bất kì nằm trên a
Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b là độ dài đoạn AB
3.3 Đường cao của một tam giác
– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Ví dụ 2:
Đoạn thẳng AH là một đường cao của tam giác ABC
– Mỗi tam giác có ba đường cao.
– Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua (đồng quy tại) một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Ví dụ 3:
Tam giác ABC có ba đường cao AH, BK, CI cắt nhau tại điểm H. Ta nói H là trực tâm của tam giác ABC
4. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chỉ ra hai đường xiên bằng nhau hoặc hai hình chiếu bằng nhau
Phương pháp:
Ta sử dụng: “Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.”
Dạng 2: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu
Phương pháp:
Ta sử dụng định lý:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 3: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Phương pháp:
Ta sử dụng định lý:
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
II. Áp dụng giải bài 10 trang 59 sgk toán 7 tập 2
Để hiểu rõ hơn về phần kiến thức quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu lời giải và đáp số bài 10 trang 59 sgk toán 7 tập 2 nhé!
Đề bài
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Lời giải
Giả sử ΔABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB; AM ≤ AC.
– TH1 : Nếu M ≡ B hoặc M ≡ C (Kí hiệu đọc là trùng với) thì AM = AB = AC.
– TH2 : Nếu M nằm giữa B và C và M ≠ B; M ≠ C.
Kẻ AH ⊥ BC tại H
+ Nếu M ≡ H ⇒ AM ⊥ BC tại M hay AM là đường vuông góc từ A đến BC.
Mà AB, AC là các đường xiên từ A đến đường thẳng BC.
Theo định lí 1 : Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường thẳng vuông góc là đường ngắn nhất.
⇒ AM < AB và AM < AC.
+ Nếu M ≠ H giả sử M nằm giữa H và C ⇒ MH < CH.
Vì MH và CH lần lượt là hình chiếu của đường xiên MA và CA trên đường BC
Mà MH < CH ⇒ MA < CA (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B
Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB = AC.
III. Lời giải chi tiết các bài tập trang 59 sgk toán 7 tập 2
Để luyện tập thêm về phần kiến thức này, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu lời giải và đáp án các bài tập trang 59 sgk toán 7 tập 2 nhé!
1. Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2)
Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?
a) HB = HC;
b) HB > HC;
c) HB < HC.
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta có:
AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC.
HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng BC.
HC là hình chiếu của đường xiên AC trên đường thẳng BC.
Mà AB < AC nên HB < HC (Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn).
Vậy c) đúng.
2. Bài 9 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2)
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Lời giải:
+ Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d.
+ Theo định nghĩa:
MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d.
MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d
AB là hình chiếu của đường xiên MB trên d
AC là hình chiếu của đường xiên MC trên d
AD là hình chiếu cùa đường xiên MD trên d
…
+ Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, …
+ Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra.
IV. Kết luận
Trong bài viết trên, chúng mình đã cùng nhau ôn tập và giải bài 10 trang 59 sgk toán 7 tập 2. Kiến hy vọng rằng các cách giải bài tập toán lớp 7 quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu sẽ giúp các em học sinh củng cố và ghi nhớ lý thuyết, từ đó giải các bài tập của chương một cách dễ dàng nhất, để chuẩn bị nền tảng kiến thức vững chắc cho cả năm lớp 7.
Hãy liên hệ ngay với chúng mình nếu có thắc mắc cần giải đáp nhé!
Chúc các bạn học tốt!
